54.Нелокальные многошаговые итер проц неполного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.

Опр: Будем говорить, что ф-ция f:XY дифф-ма по Фреше в т-ке x₀X, если сущ-ет лин огранич оператор Df(x₀)L(V,Y), для которого выполн условие: ||f(x₀+h) ‑ f(x₀)- Df(x₀)h||_Y=o(||h||_V), где || || _Y – норма в пр-ве Y, || || _V – норма в векторном пр-ве V, параллельном пр-ву X. В одношаговых м-дах исп-ся нормы , а в многошаговых в 3-х: . В методах неполного прогноза при выч-нии исп-ся норма , в м-дах полного прогноза исп-ся .

(1)

Шаг1. Решается лин ур-ние отн-но : (3) Шаг2. Вносится поправка в : (4) Шаг3. Если где -малая вел-на, то выход, иначе переход на 4 Шаг4. Опр-ся новая шаговая длина: если то иначе

Теорема. Пусть в обл. , сущ -реш-е ур-ния f(x)=0 и вып.след усл-я: а) б) в) г) , тогда итер процесс (3), (4) со сверхлин скоростью (локально с квадратичной) сход к . Оценки погрешности . Док-во. 1) релаксац-ть т.е . Исп т-му о среднем: Тогда 2) проверка хар-го св-ва. (5) 3) Покажем , . Пусть тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда следует, что . Тогда , т.е. получ. что требовалось. 4) Сход к реш. , из кот.следует слабая сх-ть эл-ов -> .5) радиус сходимости Опред.: Индуктивно получ. оценки Переход к пределу при n позволяет утверждать, что все послед-ные приближения не выходят за пределы сферы 6) Покажем достигнет 1:

Замечание Локальная квадр скорость сходимости следует из (5) при _n=1.

55.Нелокальные одношаговые итер процессы полного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.

Будем говорить, что ф-я f:XY дифф. по Фреше в точке x₀X, если существует линейный огр. оператор Df(x₀)L(V,Y), для кот. вып. усл-е||f(x₀+h) ‑ f(x₀)- Df(x₀)h||_Y=o(||h||_V), где || || _Y – норма в пространстве Y, || || _V – норма в векторном пространстве V, параллельном аффинному пространству X. В методах неполного прогноза при вычислении используется норма , а в методах полного прогноза используется . (1) Для реш-я (1) может исп. следующий процесс: Шаг1. Реш. линейное ур-е относительно : (3) Шаг2. Если то иначе Шаг3. Вносится поправка в : (4)Шаг4. Если где - малая величина (параметр останова), то конец просчётов, иначе переход на шаг 1. Теорема. Пусть в обл. , сущ -реш-е ур-ния f(x)=0 и вып.след усл-я: а) б) в) г) , тогда итер процесс (3), (4) со сверхлин скоростью (локально с квадратичной) сход к . Док-во. 1) релаксац-ть т.е . Исп т-му о среднем: Тогда 2) проверка хар-го св-ва. (5) 3) Покажем , . Пусть тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . Отсюда следует, что . Тогда , т.е. получ. что требовалось. 4) Сход к реш. , из кот.следует слабая сх-ть эл-ов -> .5) Оценка погрешности n-го приближения .6) радиус сходимости Опред.: Индуктивно получ. оценки Переход к пределу при n позволяет утв., что все послед-ные приближения не выходят за пределы сферы 7) Покажем достигнет 1: Замечание Локальная квадр скорость сходимости следует из (5) при _n=1.