4. Функции многих переменных: непрерывность и дифференцируемость. Дифференциал и частные производные сложной функции. Экстремумы функции многих переменных.

Опр. Отображение , где называется функцией n-переменных .

Далее мы будем изучать действительные функции n-переменных .

Опр. (Коши). Будем говорить, что , если

Опр. (Коши). Если , то функция непрерывна в т. .

Опр. (теорема). дифференцируема в т. , если существуют частные производные функции - в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в точке .

дифф. в т. x₀D(f):

Опр. Дифференциалом ф-и многих переменных , наз. главную линейную часть относительно приращений по всем аргументам: .

Теорема (дифференцируемость композиции). Пусть – дифференцируема в точке , а – дифференцируема в точке , тогда функция дифференцируема в точке , причем .

Теорема (формула Тейлора для функций нескольких переменных). Пусть имеет непрерывные частные производные по всем переменным до порядка включительно, а содержится в , в которой частные производные непрерывны, тогда имеет место формула: , где – остаточный член.

Опр. Точка называется точкой max (min) для функции определенной в некоторой , если , что выполняется неравенство: ( ).

Зам. Если последние неравенства обращаются в равенства лишь в точке , то точка называется точкой строгого max (min). Точка называется локального экстремума функции .

Теорема (необходимое условие точек экстремума). диф. в , – точка локального экстремума, тогда необходимо чтобы выполнялись условия .

Зам. Точки, в которых производные по всем переменным равны 0, называются стационарными точками.

Теорема (достаточное условие точек экстремума). Пусть определена в некоторой окрестности и имеет непрерывные частные производные до 2 порядка включительно, точка – стационарная точка. Если в Тейлор. Разложении – квадратичная формула, знакоопределена, то точка является точкой локального экстремума, а именно: 1) , то точка – точка локального минимума, 2) , то точка – точка локального максимума.

Опр. Точка называется точкой условного max (min) если и удовлетворяет системе выполняются условия: 1) – max; 2) – min.

Метод множителей Лагранжа:

1. Составляем ф-ю Лагранжа: .

2. Находим точки подозрительные на экстремум .

3. Находим диф. ф-и Лагранжа .

Если при условии удовлетворяет (*), то найденная точка будет точкой min. Если , то найденная точка будет точкой max. Если меняется, то найденная точка не является экстремумом.

5. Определенный интеграл. Его свойства и приложения.

Приложения интеграла Римана (вычисление площадей плоских фигур, объемов тел, длин гладких кривых).

Пусть функция определена и ограничена на . Разобьем произвльным образом на частичных отрезков. Пусть – длина частичного отрезка . На каждом таком отрезке произвольным образом выберем точку и составим т.н. интегральную сумму Римана

Пусть – диаметр (шаг) разбиения.

Опр Если конечный предел интегральной суммы при , не зависящий от способа разбиения и выбора промежуточных точек, то этот предел называют интегралом Римана (определенным интегралом) .

Если указанный предел существует, то интегрируема по Риману.

1. Если бесконечен, например, , тогда – несобственный интеграл с бесконечным пределом.

2. неограничена, например, – особая точка, то интеграл будет несобственным интегралом на отрезке от неограниченной функции.

Свойства Невырожденность: . Положительность: Если интегрируемая функция неотрицательна, то ее интеграл на отрезке также неотрицателен. Ограничение: Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на меньшем отрезке . Линейность: Если функции и интегрируемы на [a,b] и , то функция тоже интегрируема и . Аддитивность при разбиении отрезка: Если функция интегрируема на отрезке , – любая точка из , то . Монотонность: Если интегрируема на и , то . Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману.

Теорема (необх. усл. интегрируемости) Если функция интегрируема на , то она ограничена на .

Теорема (дост. усл. интегрируемости) Если функция непрерывна на , то она интегрируема на .

Опр Определенным интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл вида .

Теорема Если непрерывна в точке и интегрируема на то – дифференцируема на причем .

Формула Ньютона-Лейбница Если непрерывна на , то , где — какая-либо первообразная .

Замена переменной Если непрерывна на , непрерывно дифференцируема на , , а то имеет место формула замены переменной: .

Интегрирование по частям Если и непрерывно дифференцируемы на , то имеет место формула: .

Площадь криволинейной трапеции ограниченной кривой , , и осью : , ограниченной кривыми и : .

Е сли путь задаваемый ф-ями , , , где – непр диф-мы на , то длина пути .

Обозначим объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вввокруг оси , отвечающей отрезку . . Объем тела вращения, заданного поперечным сечением: , – площадь сечения.