8. Производная и дифференциал функции комплексной переменной.

Опр. Если ставится в соотв. некот. значение , причем , то – ф-я комплексной переменной .

Производной фукции в точке называется .

наз. дифф-мой в если , при .

Критерий дифференцируемости

дифференцируема в точке дифференцируемы в смысле действительного анализа и выполняется условие Коши-Римана: ,

Производная .

Аналитические функции

Функция называется аналитической(голоморфной) в , если она дифференцируема не только в т. , но и в некоторой окрестности точки ,

Аналитическая ф-я раскладывается в виде сходящегося степенного ряда , который сходится в круге , .

Где , jU(z₀).

9. Основная теорема о неприводимых многочленах.

Опр.Кольцо-непустое мн-во К эл-тов произвол.природы с опр.на нем бинарн.операц.+и*,если выполн.усл.:алгебра абелева группа (слож-е ассоциативно, коммутативно, хотя бы 1 правый нейтральный и симметричный эл-т относительно слож-я);умнож. ассоциативно, т.е. ; умнож дистрибутив.относ ,т.е. . (кольцо многочл.)-расшир. и содерж.перем. ,т.е. .Хар-ка кольца–наименьшее ( -степень многочлена). Если не такого , то хар-ка кольца равна 0. Мн-н из кольца наз приводимым над полем , если его можно представить в виде произведения 2-х мн-нов из кольца ,каждый из кот.степени не ниже 1-й (иначе не приводим над ).

Св-ва неприводимых мн-в:1)Если ,где неприводимые,то и совпадают с точностью до постоянного множителя;2)Пусть – любой мн-ен , –неприводимый, тогда или (взаимно простые). 4)Если произведение неприводимых мн-ов из кольца делится на неприводимый мн-ен ,то хотябы 1 из сомножителей совпадает с с точностью до постоянного мн-ля. Т.(о неприводимых мн-ах). Всякий мн-ен степени не ниже 1-ой из кольца м.б.разложен в произведение неприводим.мн-ов из этого кольца,и это разлож-е ед-но с точностью до порядка следования сомножителей и до постоянного множителя. Д-во. М-д мат.индукции.1. . Мн-н 1-й степени неприводим над полем, значит можно разложить в произведение неприводим.мн-ов,но в этом произведении только 1 множитель,т.е. .2.Предположим теорема верна для всех мн-ов, степень кот. .Док-м для .А) степени не приводим над он разложим в произведение неприводимых мн-ов, но в этом произведении только 1 множитель.Б) степени приводим над ,где и . Т.к.степени мн-ов ,то по индуктивному предположению для мн-ов верна теорема,т.е. м.б.представлены в виде произведения непривод-ых мн-ов.Док-м един-ть такого разлож-я.Предполож. противное:кроме разложения существует правая часть делится на .По св-ву 4 хотя бы 1 из этих мн-ов совпадает с с точностью до постоянного множителя,наприм., , т.е. Аналогично . И т.д. После сокращений получим: .Т.к степень левой части = 0, то в правой части м.б.только . Т.е.в данных разлож-х одинак-е кол-во мн-ов и они могут различаться только порядком следования и постоянными множ-ми. ч.т.д. Разлож-е , где все различные множ-ли , наз. каноническим разлож над полем . Всякий мн-н степени над полем комплексных чисел им. хотя бы 1 комплексный корень.Неприводим. над полем комплексных(С)чисел являются только мн-ны 1-ой степени.Неприводим.над полем действит-ых(R) чисел явл-ся только мн-ны 1-ой и 2-ой степени,кот. не им. действит. корней.Всякий мн-ен , над полем R раскладывается в произведение мн-ля , явл-ся старшим коэф-ом , и неприводимых мн-ов со старшим коэф-ом 1, причем лин-й мн-н им.1 дейсв. корень, а квадратичный–2 комплексно-сопряженных. И это разлож-е един-но с точностью до порядка следования. Мн-н с рациональными коэф-ми 2-й или 3-й степени разложим над полем Q на непривод.мн-ли,когда он им. хотя бы 1 рац.корень. Кр.Эйзенштейна:Если для мн-на с целыми коэф-ми можно подобрать такое простое число р, что: 1) не÷на ;2) ÷на ;3) не÷на ,то не приводим над полем Q.

Опр.Поле–комутативн. кольцо с единицей , в кот. кажд.ненулевой эл-т обратим.(Z не поле)

10. Линейное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Основная теорема о линейной зависимости. Базис и размерность векторного пространства. Подпространство. Линейная оболочка системы векторов.

Опр. эл-ов любой природы, с заданными на нем операциями + и  наз кольцом относительно сложения и умножения,если:1) –абелева группа по сложению(слож-е ассоциативно, коммутативно, хотя бы 1 правый нейтральный и симметричный эл-т относительно слож-я);2)на умнож-е ассоциативно;3)На вып-ся дистрибутивный з-н умнож-я относительно слож-я . Коммутативное кольцо с ед-цей ,наз полем, если в нем каждый ненулевой эл-т им.обратный.

Пусть – поле. Его эл-ты бу.наз-ть скалярами. наз.линейным(векторным) пр-ом над полем ,если выполн-ся следующие усл-я:1)на опр-на операция сложения: ;2) –абелева группа по слож-ю; 3)опр-но умнож-е эл-ов из на скаляр из поля 4) 5) 6) 7) .

Пр.вектор-го пр-ва:

наз лин-ой комбинацией вект-в –коэф-ты лин-ой комбинации.Сис-ма вект-в наз.линейно зависимой(ЛЗ),если скаляры не все из кот.=0,такие что .Если рав-во выполняется только тогда,когда все ,то сис-ма линейно независима(ЛНЗ).

Т.(о ЛЗ).Сис-ма век-ов ЛЗ,когда хотя бы 1 век-р из этой сис-мы явл-ся лин-ой комбинацией остальных век-ов.

Док-во.1)Пусть сис-ма ЛЗ скаляры ₁,₂,…_nP не все из кот.=0,такие что ₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0.Пусть ₁0,тогда а₁=(-₂/₁)a₂+…+(-_n/₁) a_n.В др.обозначениях: а₁=₂a₂+…+_na_n,где коэф-ты при а_iР,т.о.получили линейную комбинацию век-ов.2)Пусть а₁ явл-ся лин-ой комбинацией остальных век-ов, Тогда 1а₁+(-₂)a₂+…+(-_n)a_n, где коэф-т при а₁ отличен от 0сис-ма ЛЗ.ч.т.д.

Сл.1.Всякая сис-ма,содержащая нуль-вектор ЛЗ.

Сл.2.Если подсис-ма сис-мы ЛЗ,то и вся сис-ма ЛЗ.

Сл.3.Если сис-ма ЛНЗ,то любая ее подсис-ма ЛНЗ. Пусть дано лин-е вектор-е пр-во L над полем Р.(Нулев. пр-во не им.базиса).

Опр.Базисом лин-го вектор-го пр-ва L над полем Р наз любая ЛНЗ сис-ма вект-в,такая что ч/з нее линейно выражается любой вектор пр-ва.

Размерностью пр-ва L над полем Р наз.число векторов его базиса. Существуют конечномерное и бесконечномерное пространства. Не пустое мн-во М лин-го пр-ва L над полем Р наз.подпр-вом пр-ва L,если оно само образует пр-во относительно сложения и умножения вектора на скаляр.

Кр.подпр-ва.Не пустое мн-во лин-го пр-ва над полем образует подпро-во ,когда 1) ; 2) .

Мн-во лин-ых комбинаций векторов над полем наз линейной оболочкой, натянутой на векторы . Размерностью линейной оболочки явл-ся ранг сис-мы векторов .