57. Метод простой итерации явного типа решения некорректно поставленных задач с апостериорным выбором числа итераций.

Пусть дана задача представленная в виде операторного уравнения I рода

с заданными оператором и элементом , по которым нужно отыскать решение . Адамаром было введено следующее понятие корректности:

Определение. Задачу отыскания решения уравнения (1) называют корректной (или корректно поставленной, или корректной по Адамару), если при любой фиксированной правой части уравнения его решение

а) существует в пространстве Х;

б) определено в пространстве Х однозначно;

в) устойчиво в пространстве Х, т. е. непрерывно зависит от правой части . В случае нарушения любого из этих условий задачу называют некорректной (некорректно поставленной); более конкретно, при нарушении условия в) её принято называть неустойчивой.

Определение. Задача (1) называется корректной по Тихонову на множестве , а само множество М – её классом корректности, если:

а) точное решение задачи существует в классе М;

б) в классе М решение задачи единственно при любой правой части

в) принадлежащее множеству М решение задачи устойчиво относительно правых частей

Если , то корректность по Тихонову совпадает с корректностью по Адамару.

Пример 2.1. Интегральное уравнение Фредгольма I рода

Решается операторное уравнение первого рода

с действующим в гильбертовом пространстве ограниченным положительно определенным самосопряженным оператором , в предположении, что нуль принадлежит спектру этого оператора, однако, вообще говоря, не является его собственным значением. При сделанных предположениях задача о разрешимости уравнения (3.1) является некорректной. Если решение уравнения (3.1) все же существует и единственно, то для его отыскания естественно пытаться применить различные итерационные методы. Будем использовать явный итеративный метод

Обычно правая часть уравнения известна с некоторой точностью , т.е. известен , для которого . Поэтому вместо (3.2) приходится рассматривать приближения

Метод (3.3) можно сделать вполне эффективным, если воспользоваться следующим правилом останова по невязке.

Определим момент останова итерационного метода (3.3) условием

Предполагаем, что при начальном приближении невязка достаточно велика, больше уровня останова , т.е. . Покажем возможность применения правила (3.20) к методу (3.3). Метод (3.3) с остановом (3.20) является сходящимся, если Рассмотрим семейство функций . Нетрудно показать, что для выполняются условия

Справедлива

Лемма 3.1. Пусть . Тогда для

Имеет место

Лемма 3.2. Пусть . Тогда для имеет место соотношение

Лемма 3.3. Пусть . Если для некоторых и при имеем , то .

Используем леммы при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 3.9. Пусть и пусть момент останова в методе (3.3) выбирается по правилу (3.20). Тогда метод (3.3) сходится.

Теорема 3.10. Пусть выполнены условия теоремы 3.9. и пусть , тогда справедливы оценки

Замечание 3.3. Порядок оценки (3.32) есть и он оптимален в классе задач с истокопредставимыми решениями .

Замечание 3.4. Хотя формулировка теоремы 3.10 дается с указанием степени истокопредставимости и истокопредставимого элемента , на практике их значения не потребуются, так как они не содержатся в правиле останова (3.20). И тем не менее в теореме 3.10 утверждается, что будет автоматически выбрано количество итераций , обеспечивающее оптимальный порядок погрешности. Но даже если истокопредставимость точного решения отсутствует, останов по невязке (3.20), как показывает теорема 3.9, обеспечивает сходимость метода, т.е. его регуляризирующие свойства.