74. Нелок. Многошаг. Итерац. Процессы неполн. Прогноза типа Стеффенсена
Оп-р А наз-ся непр-м на
,
если из
в Х
в Y. А – непр-н во
всем Х, если он непр-н в любой т-ке этого
пр-ва. В одношаг. методах исп. нормы
в
2-х соседних узлах, а в многошаг. в 3-х. В
м-ах неполн. прогноза при выч.
и
исп. норма
,
а в методах полн. прогноза исп.
.
– раздел. разность 1-го порядка
- 2-го порядка
Аналог интерполяционной ф-лы Ньютона для операторов:
.
Дано ур-е (1) Для реш. ур-я (1) рассматр. итерац. процесс в предположении, что оператор в области D удовлетвор. след. усл:
(2)
Для решения (1) может исп. след процесс:
Шаг 1. Реш. линейное ур-е относит.поправки , где (3)
Шаг 2. Очередное приближение находится по правилу (4)
Шаг 3. Если – конец просчетов, иначе переход на Шаг 4.
Шаг 4. Определяется новая шаговая длинна: если , то , иначе
Теорема. Пусть в области существует - решение уравнения и выполняются следующие условия:
a)
b)
с)
d) .
Тогда итерац. процесс (3) - (4) со сверхлинейной скоростью (локально с квадр.) сходится к . Оценка погрешности -го приближения имеет вид
.
Док-во: 1) релаксационность, т.е. .
.
.
2) . Найдём связь между шаговыми длинами и нормами невязок:
(5)
Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . . Отсюда следует, что . Тогда посл-ть итерац. параметров монотонно возр., а посл-ть элементов - монотонно убывает
3) Сход к реш. , из которой следует слабая сходимость элементов .
4) Оценка погрешн. , то из (6) следует фунд-ть .
(6) в силу полноты пр-ства существование предельного элемента, который является решением уравнения . Оценка погрешности -го приближ. получ. переходом к в (6) при . Имеем .
5) радиус сходимости определяем стандартным образом.
.
Индуктивно получаются оценки .
Переход к пределу при позволяет утверждать, что все последовательные приближения не выходят за пределы сферы .
достигнет 1: ЧТД
75. Нелок. Итерац. Процессы неполн. Прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрерывным нелинейным оператором.
Оператор А называется непрерывным на , если из в Х в Y. А – непрерывен во всем Х, если он непрерывен в любой т-ке этого пр-ва.
- разделенная разность 1-го порядка
- разделеленная разность 2-го порядка
Аналог интерполяционной ф-лы Ньютона для операторов:
.
Дано уравнение (1) Для реш. ур-я (1) рассматр. итерац. процесс в предположении, что оператор в области D удовлетвор. след. усл:
(2)
Для решения (1) может исп. след процесс:
Шаг 1. Реш. линейное ур-е относит.поправки
,
(3)
Шаг 2. Очередное приближение находится по правилу (4)
Шаг 3. Если – конец просчетов, иначе переход на Шаг 4.
Шаг 4. Определяется новая шаговая длинна: если , то , иначе
Теорема. Пусть в области существует - решение уравнения и выполняются следующие условия:
a)
b)
с)
.
Тогда итерационный процесс (3) - (4) со сверхлинейной скоростью (локально с квадратичной) сходится к . Оценка погрешности -го приближения имеет вид
.
Док-во: 1) релаксационность, т.е. .
.
.
2) . Найдём связь между шаговыми длинами и нормами невязок:
(5)
Пусть , тогда , тогда , в этом случае в силу (5) . . Отсюда следует, что . Тогда последовательность итерационных параметров монотонно возрастает, а последовательность элементов - монотонно убывает
3) Сход к реш. , из которой следует слабая сходимость элементов .
4) Оценка погрешн. , то из (6) следует фундаментальность .
(6) в силу полноты пр-ства существование предельного элемента, который является решением уравнения . Оценка погрешности -го приближ. получ. переходом к в (6) при . Имеем .
5) радиус сходимости определяем стандартным образом.
.
Индуктивно получаются оценки .
Переход к пределу при позволяет утверждать, что все последовательные приближения не выходят за пределы сферы .
6) достигнет 1: ЧТД