6. Кратные интегралы. Их свойства и приложения.

Кратный интеграл Римана

Опр. наз клеткой в пр-ве . , в этом случае говорят, что мы имеем разбиение мн-ва на мн-ва .

Опр. Величина (максимального из диаметров промежутков разбиения ) называется параметром разбиения .

Опр. Мерой клетки наз число .

Пусть имеется , тогда – двойной интеграл Римана по области G. ( , – кратный интеграл).

Свойства: 1) на , то . 2) Если , . 3) .

Сведение кратных интегралов к повторным

Прямоугольная область: Если интегрируема на прямоугольнике и , тогда функция интегрируема на и имеет место формула: .

Криволинейная область G: , . .

Замена переменных в кратном интеграле

Если – непр в обл-ти , огр кусочно-гладкой границей , а отображение , где , – непр-дифф ф-ции в обл-ти с якобианом отображения взаимнооднозначно отобр-т обл на , то .

– окр с центром в нач с/к

, Якобиан отображения и

Цилиндрическая система координат: .

Сферическая: .

Приложения

Площадь плоской фигуры: , объем тела: ( – проекция тела на плоскость xOy), , площадь пов-ти заданной в явном виде ( ).

7. Функциональные последовательности и ряды. Признаки равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.

Рассмотрим функцию – называется функциональной последовательностью определенную на множестве .

Если сходится в точке , то говорят, что - сходится в этой точке.

Множество точек , в которых функциональная последовательность сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности, а последовательность называется сходящейся поточечно в этой области.

Если , то говорят, что функция – предельная функция функциональной последовательности, т.е. . Из данной записи поточечной сходимости следует, что зависит, как и от и, так и от точки .

Функция называется равномерно сходящейся на множестве , если – предельная функция, обозначается поточечная сходимость.

Определение равномерной сходимости отличается от поточечной, тем, что зависит только от , т.е. годится для из поточечной сходимости. Из равномерной сходимости следует и поточечная сходимость.

Критерий Коши равномерной сходимости. Функциональная последовательность равномерно сходится к своей предельной функции на множестве выполняется условие Коши: .

Непрерывность предельной функции, почленное дифференцирование и интегрирование

Если непрерывны на , а сама последновательность на , то и предельная фукция непрерывна на .

Если члены непрерывно дифференцируемы на , сходится хотя бы в одной точке , , то последовательность можно почленно дифференцировать.

Если на , непрерывны на , то .

Функциональные ряды

Пусть – функциональная последовательность на , – функциональный ряд на . — частичная сумма ряда.

Если , то ряд называется сходящимся.

Признак Вейерштрасса Если для функционального ряда существует числовой сходящийся положительный ряд , что , то ряд абсолютно и равномерно сходится, а ряд называется мажорирующим.

Признак Дирихле Ряд равномерно сходится на если частичные суммы ряда равномерно ограничены на , т.е. , а члены ряда монотонно убывают на , т.е. и последовательность равномерно сходится к 0.

Признак Абеля Ряд равномерно сходится на если равномерно сходится на , а последовательность равномерно ограничена .

Непрерывность предельной функции, почленное дифференцирование и интегрирование

Если члены ряда непрерывны на , а сам ряд равномерно ходится на , то его сумма непрерывна на .

Если члены непрерывно дифференцируемы, непрерывны на , ряд , равномерно сходится хотя бы в одной точке , то функциональный ряд можно почленно дифференцировать и

-сумма ряда .

Если члены ряда непрерывны и ряд равномерно сходится на , то его можно почленно интегрировать.