8.6 Явления переноса

Прикладная наука о транспортных явлениях рассматривает перенос массы, количества движения и энергии. Она включает в себя те теоретические правила, с помощью которых инженеры решают задачи, связанные с течением жидкостей, теплопереносом и диффузией в многокомпонентных средах. Ниже приводится краткий обзор законов переноса, поскольку процессы переработки полимеров включают в себя транспортные процессы.

Применительно к процессам течения вязкой жидкости эти уравнения формулируются следующим образом. Если выделить внутри занятого движущейся жидкостью объема произвольный элемент и ограничить его воображаемой замкнутой поверхностью, то такой элемент будет представлять собой термодинамически замкнутую систему (т.е. такую систему, которая может обмениваться с окружающей средой только энергией).

Отметим, что такие характеристики жидкости, как плотность ρ, давление Р и температура Т, являются скалярными величинами, скорость жидкости v - это величина векторная, а напряжение сдвига τ, возникающее в результате действия вязких сил, - симметричный тензор второго ранга.

Несмотря на компактность векторной формы записи, при решении конкретных задач, связанных с исследованиями течения полимеров, приходится выбирать систему координат и определять в ней компоненты векторных и тензорных величин.

Ниже приведены уравнения неразрывности, движения и энергии, представленные в векторной форме, в прямоугольных (х, у, z) и цилиндрических (r, θ, z) координатах (рис. 43).

Рисунок 43 - Системы координат

Уравнение неразрывности

Простейшее из уравнений баланса — уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы. Рассмотрим область пространства, например, в декартовых координатах х, у, z (или х₁, х₂, х₃), а короче x_i, где i = 1,2,3, через которую со скоростью v (x_i, t) протекает однородная жидкость плотностью ρ (x_i, t). Принцип сохранения массы в фиксированном объеме пространства V= xyz (рис. 44) может быть записан в виде:

Если плотность внутри объема ρ, то скорость накопления массы равна . Это выражение равно алгебраической сумме потоков массы (ρv_i), входящих и выходящих через шесть граней куба (рис. 44).

Рисунок 44 - Элемент объема

В результате:

(37)

Каждая скобка в правой части уравнения представляет собой чистый приток массы через три главные плоскости куба.

Разделив обе части уравнения на V, при условии, что размеры куба будут стремиться к нулю, в пределе получим:

(38)

Или после преобразований:

(39)

В этих уравнениях символом  (набла) обозначен дифференциальный оператор, который в прямоугольной системе координат имеет вид:

, (40)

где δ₁ – единичные векторы.

, (41)

где t — время;

v= div v — расхождение вектора скорости V.

Уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) в прямоугольных координатах:

(42)

Уравнение сохранения массы в цилиндрических координатах:

(43)