Изотермическое установившееся течение аномально вязких жидкостей в цилиндрическом канале

Рассмотрим течение расплава полимера под действием перепада давления вдоль оси канала с радиусом R и сравнительно большой длиной l. Давление на входе в канал равно р, а на выходе р₀. Так как течение установившееся, то принимаем, что , т.е. начальный входной участок канала, где не рассматривается. Перепады давлений по другим координатам равны нулю: .

Соответственно скорости и напряжения сдвига также равны нулю , , . Поскольку течение установившееся, то скорость вдоль оси z и во времени не изменяется, т.е. , .

Для решения принимаем следующие допущения:

1) вязкость расплава не изменяется во времени;

2) скольжение на стенках канала отсутствует, т.е. при r = R, v_z = 0;

3)нормальные напряжения при течении остаются постоянными, т.е. , ;

4) гравитационные силы не учитываем, т.к. канал расположен горизонтально: ;

5) инерционные силы равны нулю: .

Рисунок 46 - Схема течения расплава в цилиндрическом канале

Рассмотрим произвольный элемент жидкости, расположенный внутри цилиндрической поверхности, и запишем для него уравнение движения.

Проекция на направление r:

(64)

Проекция на направление θ:

(65)

Проекция на направление z:

(66)

Если проанализировать уравнения с учетом принятых условий и допущений, то видно, что все члены этих уравнений равны нулю, а из уравнения можем записать:

(67)

Для установившегося потока, когда градиент давления имеет постоянное значение:

(68)

Полученное уравнение можно преобразовать в обычное дифференциальное уравнение:

(69)

Интегрируя последнее выражение, находим:

(70)

На стенках канала скорость равна нулю, а в центре при r = 0 она максимальна. Следовательно, вследствие симметрии потока, на равных расстояниях от оси скорости также будут равны, поэтому скорость сдвига в центре канала отсутствует , поэтому τ_rz= 0.

Подставив в уравнение принятые граничные условия, находим, что`C₁= 0, тогда:

(71)

Максимальное значение напряжения будет на стенке канала при r = R и равняется:

(72)

Знак минус указывает на то, что напряжения сдвига направлены в сторону, противоположную направлению оси z.

Для нахождения скорости потока воспользуемся реологическим уравнением (*), в которое вместо вязкости подставим степенное уравнение (**). С учетом принятых условий и допущений все члены уравнения (***), кроме , равны нулю. Поэтому в окончательном виде после подстановки этих значений в уравнение (*) имеем:

(73)

Подставив это значение τ_z в уравнение (****), из нового равенства находим:

(74)

Интегрируя это уравнение, получаем:

(75)

Из условия прилипания расплава к стенкам канала следует, что при r = R, v_z= 0, тогда:

(76)

Подставив вместо С₂ его значение, получаем:

(77)

Из уравнения (*****) при r = 0 можно определить максимальную скорость потока:

(78)

Для вывода уравнения объемного расхода воспользуемся рисунком 47. Взяв в сечении канала элементарное кольцо с радиусом r и толщиной dr, находим его площадь: S = 2nrdr.

Рисунок 47 - Сечение цилиндрического канала с выделенным элементарным кольцом толщиной dr

Обычно расход расплава Q равен произведению площади сечения канала S на скорость потока v_z. Для полного сечения канала имеем:

(79)

Подставив вместо скорости v_z ее значение из уравнения (*******), получаем

(80)

После интегрирования и преобразований получаем уравнение для расхода расплава:

(81)

Для нахождения скорости сдвига продифференцируем уравнение (*******):

(82)

Определение v₀:

(83)

Заменив в уравнении (82) v₀ его значением, найденным из уравнения (83) получаем:

(84)

Скорость сдвига на стенке канала при r = R равна:

(85)

Полученные уравнения широко применяются при расчете экструзионных головок, литниковых каналов пресс - форм и в капиллярной вискозиметрии. Уравнение напряжения и скорости сдвига часто используют для определения степени ориентации макромолекул и последующего изменения свойств изделий. Построив эпюры напряжений и скорости сдвига, можно предсказать характер образования кристаллических структур и изменение формы их по толщине экструзионного профиля или литьевого изделия в зависимости от степени ориентации макромолекул.

Если в уравнение (85) подставить n=1, то получаем скорость сдвига для потока ньютоновской жидкости:

(86) ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ АНОМАЛЬНО ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ

Рассмотрим движение расплава, вызванное вращением внутреннего цилиндра вокруг своей оси с угловой скоростью ω, когда перепад давления по оси z отсутствует. Для вывода уравнений течения принимаем те же допущения, что были приняты при решении задачи для течения в цилиндрическом канале.

Схема течения показана на рисунке 48. Канал образуется внутренним цилиндром с радиусом R₁ и внешним цилиндром с радиусом R₂.

Поскольку осевое течение отсутствует, члены уравнений ****, содержащие τ_rz будут равны нулю, а действующим будет напряжение τ_rθ, возникающее на концентрических поверхностях, перпендикулярных к радиусу.

Проекция на направление r:

(87)

Проекция на направление θ:

(88)

Проекция на направление z:

(89)

Так как перепады давления отсутствуют, то соответственно имеем:

(90)

Проанализировав уравнения движения, получаем:

(91)

После интегрирования этого выражения имеем:

(92)

Рисунок 48 - Схема течения расплава между вращающимися цилиндрами

Реологическое уравнение для данного случая течения с учетом уравнений (19), (23) и (2.22) имеет вид:

(93)

Подставив это выражение в уравнение (92) имеем:

(94)

К) г 56

Разделив оба члена уравнения на r и проинтегрировав, получаем:

(95)

Заменив выражение новой постоянной:

(96)

После подстановки ее в (95), имеем:

(97)

Постоянные интегрирования находим из условий:

при , ; ,

Подставив эти значения в уравнение (97), получаем:

(98)

(99)

Решив совместно эту систему уравнений, находим:

(100)

(101)

Подставив вместо С₂ и С₃ их значения в уравнение (97), получаем уравнение профиля скорости:

(102)

Для определения скорости сдвига воспользуемся уравнением (94) и равенством:

(103)

Тогда скорость сдвига будет равна:

(104)

Подставив в это выражение значение из уравнения (96), а вместо С₂ из (100), имеем:

(105)

Скорость сдвига на внутреннем цилиндре определяем из уравнения (105) при r = R:

(106)

На поверхности внешнего цилиндра при r = R₂:

(107)

Напряжение сдвига на поверхности канала можно определить, используя равенство:

(108)

, (109)

где М_кр - крутящий момент, возникающий при вращении цилиндра;

l - длина цилиндра.

Полученные уравнения используются для обработки данных ротационной вискозиметрии, а если при решении учесть наличие dp/dz = const, то для расчета формующих головок экструдеров, если мундштук или дорн вращаются. Подобные решения можно получить также для других случаев течения, принимая соответствующие граничные условия.