7.1 Обобщенная модель Максвелла

При исследовании временной зависимости напряжения при заданной деформации наблюдается явление так называемой релаксации напряжений. Введем по аналогии с упругим модулем в качестве характеристики любой полимерной системы так называемый релаксационный модуль G(t). Определим релаксационный модуль как отношение мгновенного значения напряжения в испытуемом образце к величине деформации, установленной при испытаниях в режиме постоянной деформации. Тогда для тела Максвелла из выражения (12) имеем:

(14)

Сопоставление полученных характеристик тела Максвелла с характеристиками реальных полимеров, находящихся в высокоэластическом состоянии, показывает, что между ними существует качественное сходство. Однако при попытке применения полученных математических зависимостей для количественного описания упруговязких характеристик реальных полимеров сразу же обнаруживается невозможность их непосредственного использования.

Наилучшее представление об этом дает анализ уравнения (14). Если взять натуральные логарифмы правой и левой частей уравнения (14), то получается:

(15)

Представим экспериментальные данные о релаксации напряжений в координатах ln[G(t)/G] — f(t). В данном случае, если релаксационные свойства реального полимера можно было бы описать при помощи тела Максвелла, эти данные должны были бы уложиться на прямой. В действительности же релаксационные свойства реальных полимеров изображаются кривой (рис. 33).

1 – тело Максвелла;

2 – реальный полимер

Рисунок 33 - Кривые релаксации полимеров

Оказывается, что для того чтобы описать релаксационные свойства реальных полимеров, необходимо использовать модели, состоящие из ряда параллельно соединенных элементов Максвелла, каждый из которых характеризуется своим значением модуля упругого элемента G_i, и своим значением времени релаксации t_релакс (рис. 34).

Рисунок 34 - Обобщенная модель Максвелла

При этом чем больше число параллельно соединенных элементов Максвелла, тем точнее такая обобщенная модель описывает деформационные характеристики реального полимера.

(16)

Необходимость введения большого числа параллельно соединенных элементов Максвелла для описания деформационных характеристик реальных полимеров является следствием полимерной сложности увеличивать число элементов обобщенной модели Максвелла.

7.2 Модель Кельвина — Фойгта

Модель Максвелла представляет собой наиболее общий механический аналог жидкости и позволяет удовлетворительно имитировать поведение линейных полимеров. С ее помощью удается наглядно описать релаксацию напряжений при заданной деформации.

Для моделирования поведения сшитых полимеров, деформация которых ограничена существованием пространственной структуры, можно воспользоваться моделью, известной под названием модели Кельвина — Фойгта (рис. 35).

Рисунок 35 - Модель Кельвина — Фойгта

Эта модель обладает свойствами твердого тела. Дифференциальное уравнение модели Кельвина — Фойгта составляется, исходя из условия, что деформация упругого элемента модели равна деформации ее вязкого элемента:

(17)

Суммарное напряжение в любой момент складывается из напряжения, действующего в упругом и вязком элементах. Дифференциальное уравнение, описывающее поведение модели Кельвина — Фойгта, имеет вид:

(18)

Рассмотрим решение этого уравнения для двух вариантов.

Первый вариант:

к телу Кельвина — Фойгта мгновенно приложена постоянная сила, вызывающая напряжение. При этом условии решение уравнения (18) имеет вид:

, (19)

где l в данном случае является своеобразным аналогом времени релаксации и называется временем ретардации или запаздывания; l = h/G.

Можно ввести характеристику упругих свойств, так называемую податливость I, обратную модулю упругости:

(20)

Тогда уравнение (19) запишется в виде:

(21)

Второй вариант, представляющий практический интерес — это режим мгновенной разгрузки.

Пусть тело Кельвина — Фойгта деформировано силой, вызывающей напряжения, действие которой продолжалось в течение времени много большего, чем время запаздывания. Затем эта сила мгновенно снимается. Под действием запасенной в теле упругой энергии начнется процесс восстановления. Процесс уменьшения деформации будет при этом описываться уравнением:

(22)

Уравнение (22) по форме подобно уравнению (12). Процесс, описываемый этим уравнением, называется релаксацией деформации.

По аналогии с характеристиками, которые были введены для элемента Максвелла, можно получить соответствующие вязкоупругие функции и для элемента Кельвина — Фойгта, например, релаксационная податливость:

(23)