Уравнение движения
В соответствии со вторым законом Ньютона скорость изменения количества движения элемента жидкости равна сумме всех действующих на него сил:
,
(44)
где g — главный вектор массовых сил, действующих на жидкость в рассматриваемой точке.
Вследствие высокой вязкости полимеров силы трения при их течении во много раз превышают инерционные и массовые силы. Поэтому членами, учитывающими влияние последних, обычно пренебрегают. В результате этого упрощения уравнения записывается в виде:
(45)
В такой форме уравнение движения вязкой жидкости известно как уравнение Стокса.
Уравнение движения в прямоугольных координатах:
(46)
(47)
(48)
Уравнение движения в цилиндрических координатах:
(49)
(50)
(51)
Уравнение энергии
Из закона сохранения энергии, примененного к элементу жидкости, следует уравнение теплового баланса:
,
(52)
где Сv — удельная теплоемкость жидкости при постоянном объеме, выраженная в единицах механической работы;
q — вектор теплового потока, выраженный в единицах механической работы, связанный с градиентом температуры, законом теплопроводности Фурье:
,
(53)
k — коэффициент теплопроводности жидкости, выраженный в единицах механической работы.
Ниже приведены компоненты вектора теплового потока q в прямоугольной и цилиндрической системах координат.
Прямоугольные координаты:
(54)
(55)
(56)
Цилиндрические
координаты:
(57)
(58)
(59)
Уравнение теплового баланса в прямоугольных координатах:
(60)
Уравнение
теплового баланса в цилиндрических
координатах:
(61)
Расположение индексов в компонентах тензора напряжений подчиняется следующему правилу: первый индекс указывает направление нормали к площадке, на которой действует данное напряжение; второй индекс характеризует направление действия напряжения.
Приведенные выше уравнения движения не описывают связи между напряжением сдвига и соответствующими значениями скоростей деформации. Для того чтобы полностью охарактеризовать поведение деформируемого полимера, необходимо дополнить эти уравнения реологическим уравнением состояния, связывающим компоненты тензора скоростей деформации с компонентами тензора напряжений.