Изотермическое установившееся течение аномально вязких жидкостей между параллельными пластинами

Рассмотрим движение в щелевом канале, образованном двумя пластинами шириной В и длиной l, расстояние между которыми Н (рис. 49). Течение осуществляется вдоль оси z под действием перепада давления, при этом .

Так как градиенты давлений по другим осям координат равны нулю, скорости, а соответственно и напряжения сдвига по ним будут также равны нулю:

Уравнения движения в прямоугольных координатах имеют следующий вид:

(110)

(111)

(112)

Проанализировав уравнения движения с учетом принятых условий и допущений, получаем исходное выражение:

(113) Так как течение установившееся и dp/dz = const, после интегрирования имеем:

(114)

Используя граничные условия, что в центре канала, при у = 0, вследствие симметрии потока (градиент скорости в центре канала равен нулю), имеем τ_yz= 0; тогда C₁ = 0. С учетом полученных значений получаем:

(115)

Напряжение сдвига на стенке канала, при у = Н/2 и перепаде давления в канале, р = р₀ - р будет равно:

(116)

Реологическое степенное уравнение для движения между пластинами с учетом (16), (23) и (2.21) имеет вид:

(117)

Подставив вместо τ_yz его значение из (115), находим:

(118)

Проинтегрировав это выражение, получаем:

(119)

Постоянная интегрирования находится из условия, что скорость на поверхности канала при у = Н/2, v_z = 0, тогда:

(120)

Подставив вместо С₂ его значение, находим:

(121)

где v₀ - максимальная скорость потока,

(122)

Рисунок 49 - Схема течения расплава между двумя неподвижными пластинами

Для вывода уравнения расхода расплава выделим в поперечном сечении элемент толщиной dy и шириной В. Взяв произведение скорости xz на площадь этого элемента, равную произведению Bdy и проинтегрировав в пределах от 0 до Н/2, находим объемный расход расплава:

(123)

Уравнение скорости сдвига получаем, продифференцировав (121). Используя вместо v₀ его значение из уравнения (122), находим:

(124)

Скорость сдвига на поверхности пластины при у = Н/2, равна:

(125)