7 Модельное представление деформирования полимерных материалов
Простейшие механические модели.
Рассмотрим простейшие механические модели, обладающие в отдельности свойствами упругого тела и ньютоновской жидкости.
Рисунок 28 - Модель упругого тела (тела Гука)
Рисунок 29 - Модель ньютоновской жидкости
В качестве простейшей модели упругого тела воспользуемся обычной пружиной (рис. 28). Единственной характеристикой такой пружины является ее жесткость, которую мы будем считать равной модулю сдвига G. В том случае, если к этой пружине приложено усилие, вызывающее напряжение, ее деформация будет описываться формулой (5).
(5)
В качестве простейшей механической модели ньютоновской жидкости воспользуемся цилиндрическим поршнем, передвигающимся в сосуде, заполненном вязкой ньютоновской жидкостью (рис. 29). Зависимость между силой, приложенной к поршню, и скоростью его смещения будет описываться формулой (6).
или
(6)
Представления об упругости материала, полностью подчиняющегося закону Гука, и вязкой жидкости, удовлетворяющей закону Ньютона, оказываются двумя краеугольными камнями, опираясь на которые, можно расшифровать поведение всех реальных материалов.
Рассмотрим простейшую комбинацию, образованную из этих двух последовательно соединенных элементов (рис. 30). Такое модельное тело, обладающее одновременно упругостью и вязкостью, называется телом Максвелла.
Рисунок 30 - Модель тела Максвелла
Если подвергнуть тело Максвелла деформации, приложив к нему постоянное усилие, то можно ожидать, что сначала образец скачкообразно деформируется на величину, соответствующую сжатию упругого элемента, а затем будет деформироваться с постоянной скоростью, соответствующей приложенному усилию (рис. 31).
Рисунок 31 - Деформация тела Максвелла под действием постоянного усилия
С другой стороны, если быстро деформировать тело Максвелла, а затем зафиксировать полученную деформацию и наблюдать за изменением силы (или напряжения) во времени, то можно ожидать, что начальное напряжение, соответствующее заданной деформации пружины, будет постепенно уменьшаться за счет смещения поршня вязкого элемента. При этом напряжение будет изменяться примерно так, как это изображено на рисунке 32.
Рисунок 32 - Релаксация напряжений в теле Максвелла
Это явление постепенного уменьшения во времени напряжений в деформированном образце полимерного материала получило название релаксации напряжений.
Используя представления о законах деформации отдельных элементов модели Максвелла, выведем уравнение деформации модели. При этом будем исходить из двух очевидных условий:
во-первых, полная деформация модели равна сумме деформаций упругого и вязкого (пластичного) элементов:
(6)
во-вторых, напряжения, действующие в упругом и вязком элементах:
(7)
Дифференцируя уравнение (6) по времени, получим:
(8)
Величина
может
быть определена дифференцированием
уравнением (5):
(9)
Значение
находится
непосредственно из уравнения (6).
Подставляя полученные результаты в уравнение (8), получим дифференциальное уравнение, описывающее поведение тела Максвелла:
(10)
Рассмотрим теперь более строго поведение тела Максвелла в условиях постоянной деформации. В этом случае уравнение (10) принимает вид:
(11)
Интегрируя
это уравнение и определяя постоянную
интегрирования из условия
при
t=0
получим следующую экспоненциальную
зависимость:
(12)
Величина
имеет размерность времени и называется
временем релаксации. Обычно ее обозначают
через tрелакс:
(13)
Аналогичные результаты получаются, если испытать образцы полимеров в условиях постоянной деформации. Наблюдающееся при этом уменьшение напряжений называется релаксацией напряжений.
В том случае, если к телу Максвелла приложено постоянное напряжение, то уравнение (10) превращается в уже известное нам уравнение (6), описывающее течение ньютоновской жидкости.