Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Н ормальное распределение занимает особое место среди других распределений, так как оно встречается во многих практических задачах. Математики на протяжении длительного времени пытались выяснить причину такого распространения. В 1730 году Муавр нашел асимптотическую формулу для распределения Бернулли при p=0,5. Эта формула позволяет найти вероятность появления ровно k раз в n испытаниях при p=const.

при этом φ(x) является асимптотическим приближением функции f(x). В 1789 Лаплас обобщил формулу Муавра для любого значения p, поэтому теорему иногда называют теоремой Муавра-Лапласа. Муавр доказал, что при n→∞ закон распределения количества появлений события стремится к нормальному.

Существуют локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема

Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна 1≠p≠0, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции:

p_n(k)≈

Существуют специальные таблицы значений:

где x>0

Функция φ(x) четна: φ(-x)=φ(x).

Интегральная теорема

Здесь нужно определить вероятность того, что событие A появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз:

p _n(k₁, k₂)≈

где

С уществуют специальные таблицы, в которых указаны значения функции Лапласа или интеграла вероятностей Лапласа:

Φ(-x)=-Φ(x) при x>5 Φ(x)=0,5

Ф ормулу для расчета вероятностей можно получить следующим образом:

p_n(k₁, k₂)≈

Формулу Муавра-Лапласа можно преобразовать. Например,

Формулу можно преобразовать к следующему виду:

Т акую формулу можно получить следующим образом:

М ожно умножить неравенство на

и обозначить

Формула показывает расчет отклонения выборочной вероятности от теоретической на величину сравнимую с малым числом эпсилон.

Т еорема Муавра-Лапласа имеет и другое практическое применение. Можно представить интегральную теорему Лапласа в виде:

П усть E=σt, где t=1, 2, 3, тогда

П ри t=2:

П ри t=3:

С теоремой Лапласа связано также понятие вероятной ошибки: E=r=0,6745∙σ, тогда:

Это значит, что отклонение x от математического ожидания большее, чем r и меньшее, чем r одинаково вероятно.

Таким образом, нормальное распределение Гаусса является предельным случаем биномиального распределения, когда число испытаний неограниченно возрастает, при этом p и q не очень малы. Переход от дискретного биномиального распределения к непрерывному нормальному распределению осуществляется по теореме Муавра-Лапласа. Локальная формула Муавра-Лапласа применяется при обычной вероятности и больших значениях n и m(k). При этом нужно найти определенное значение частоты.

Если вероятность обычная n и m(k) – велики, то нужно найти вероятность попадания в интервал. Тогда используется интегральная формула Муавра-Лапласа. При решении задач n может быть велико, а p малой (меньше 0,01), тогда нужно применять распределение Пуассона.

Закон Пуассона применяется при изучении систем массового обслуживания. В таких системах все потоки событий являются Пуассоновскими. При этом поток событий – это последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени. Поток должен быть Марковским, то есть обладать следующими свойствами:

• Стационарности.

• Отсутствие последствия.

• Отсутствие ординарности.

• Характеризуется тем, что вероятность появлений k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t этого промежутка и не зависит от начала его отсчета. При этом различные промежутки времени являются непересекающимися.

• Характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появились или нет эти события в предшествующие моменты времени, то есть условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени равна безусловной вероятности. Состояние потоков в прошлом не меняет их состояния в будущем.

• Характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

П отоки событий, обладающие этими тремя свойствами, и являются простейшими или Пуассоновскими. Потоки могут быть близкими к простейшим. Для таких потоков можно найти вероятность того, что за время τ произойдет ровно k событий. p_k(τ)=

где λτ – математическое ожидание числа событий за время τ. λ – интенсивность потока событий, которая равна среднему числу событий, приходящихся на единицу времени.