Моменты двумерной выборки

Они являются смешанными:

• Начальные, порядка h₁ и h₂:

m_h1|h2=ΣΣx_i^h1∙y_j^h2∙p(x_i,y_j)

m_h1|0 – начальный момент компоненты x

m_1|0 – математическое ожидание компоненты x

m_0|h2 – начальный момент компоненты y

m_0|1 – математическое ожидание компоненты y

μ _h1|h2=ΣΣ(x_i-m_1|0)^h1∙(y_j- m_0|1)^h2∙p(x_i,y_j)^(h1,h2).

Основные:

Для нормальной поверхности распределения:

r_0|3=r_3|0=0

r_1|2=r_2|1=0

r_0|4=r_4|0=3

r_1|3=r_3|1=3∙r_1|1

r_2|2=1+2∙r_1|1²

Д ля нормальной поверхности распределения можно найти max по формуле:

Э тот max достигается в точке, соответствующей центру распределения: x=a. По мере увеличения x и y плотность убывает сначала очень быстро, а затем медленнее, стремясь к нулю. Можно получить вертикальные и горизонтальные сечения. Вертикальные можно получить для каждой строки и каждого столбца таблицы распределения. Можно рассмотреть следующие формулы: условная плотность распределения y при заданном x –

А налогично условная плотность распределения случайной величины x при заданном y –

Э ти уравнения показывают, что распределения каждой строки и каждого столбца таблицы являются нормальными со средними значениям и и дисперсиями σ_2..1² и σ_1..2². Сечения представляют собой вертикальные плоскости параллельные координатным плоскостям yOz и xOz. Средние значения условных распределений изображаются точками на плоскости основания, соответствующими вершинам кривых распределения. При этом основные отклонения σ_2..1² и σ_1..2² одинаковы и равны, и являются независимыми. Эти уравнения называются корреляционными. Для нормальной корреляции корреляционные моменты будут линейными. Линии средних значений соответствующие графикам корреляционных уравнений являются прямыми, пересекающимися в точке, соответствующей центру распределения. Горизонтальные сечения нормальной поверхности распределения называются корреляционными эллипсами. Эти эллипсы являются концентрическими, подобными и подобнорасположенными, так как проецируются на плоскость под прямым углом.

- коэффициент max.

г де x₁ и x₂ – отклонения от средних значений. Указанная в скобках функция называется квадратической и имеет вид: Ax²+Bxy+Cy². Эта функция соответствует каноническим сечениям:

поэтому сечения горизонтальными плоскостями являются эллипсами, переходящими в прямую линию, когда r=(+-)1. Значения случайных величин x₁ и x₂ – это координаты точек, лежащих на эллипсе – σ², в плоскости z=k. При разных k различны Θ², то есть меняется только величина корреляционных эллипсов. Центр эллипсов и расположение их относительно главных осей не меняются.

Центральная предельная теорема

Была сформулирована Чебышевым, а доказана Ляпуновым.

П усть имеется последовательность случайных величин x₁, x₂, …,x_n. Можно найти новую случайную величину равную сумме этих величин:

При неограниченном возрастании N закон распределения ρ_N, близок к нормальному закону. Это утверждение называется центральной предельной теоремой.

П усть x_i одинаково распределены и имеют математическое ожидание a и дисперсию σ². Тогда, используя свойства математического ожидания и дисперсии, можно найти параметры ρ_N:

Т огда в соответствии с теоремой можно записать:

То есть случайная величина

распределена асимптотически, параллельно с математическим ожиданием равным нулю, а σ=1. x, которая равна ρ_N, имеет нормальное распределение с параметрами na и средним квадратическим отклонением σ∙√n. Физический смысл этой теоремы заключается в том, что сумма большого числа одинаковых случайных величин приближенно нормальна. При этом все слагаемые могут быть различными, но в этом случае их весовой коэффициент в сумме должен быть малым. Эту теорему наглядно подтвердил английский статистик Френсис Гальтон. Он изобрел прибор, а именно в доску, в которую были вбиты в шахматном порядке иголочки. Внизу прибора были перегородки, в которые попадали ссыпаемые в воронку.

- этот прибор показал, что отклонения взаимноуравниваются, поэтому напротив воронки скапливается max количество дроби. Чтобы дробинкам отклониться далеко, нужно встретить большое число односторонних препятствий, что маловероятно. Эта теорема объясняет, почему нормальное распределение наиболее часто встречается в природе. Суммарное воздействие большого числа незначительных случайных факторов приводит к нормальнораспределенной результирующей случайной величине. Так формируется случайная ошибка, суммарная (аддитивная) помеха и так далее. На этом основан метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло.