Свойства математического ожидания

• Математическое ожидание константы равно самой константе: М(const)=const.

• Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(cx)=cM(x)=M(c)∙M(x).

• Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математического ожидания этих величин: M(xy)=M(x)∙M(y)

• Математическое ожидание суммы двух случайных величин равна сумме математического ожидания этих величин.

• Математическое ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях, где в каждом вероятность события постоянна и равна p, равно произведению числа испытаний на их вероятность: M(x)=n∙p. Доказательство: x=x₁+ x₂+…+ x_n. M(x)=M(x₁)+ M(x₂)+…+ M(x_n)=n∙p.

Характеристики рассеяния

Это дисперсия, среднее квадратическое отклонение, моменты. Дисперсия – служит для оценки разброса случайных величин около математического ожидания и является средней взвешенной квадратов разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием: D(x)=Dx=M[(x-M)²]

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Для практических расчетов используется следующая формула: D(x)=M(x²)-M²x. Доказательство: D(x)=M[(x-Mx)²]=M[x²-2xMx+Mx²]=M(x²)+M(Mx²)-2M(xMx)=M(x²)+M²(x)-2M²(x)=M(x²)-M²x.

Д ля дискретных случайных величин:

Д ля непрерывных случайных величин:

С реднее квадратическое отклонение. Величину D(x) невозможно отложить на оси x, так как Dx имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому введен новый параметр, а именно квадратный корень из дисперсии:

Свойства дисперсии

• D=const=0

• D(cx)=c²Dx.

• D(x+y)=Dx+Dy.

• D(x+c)=D(x)

Дисперсия числа появления события в n независимых испытаниях, где вероятность появления события постоянна и равна p. Это произведение числа испытаний на вероятность появления и не появления события: M(x²)-M²x=p-p²=p(1-p)=pq, Dx=np, Dx=Dx₁+ Dx₂+… Dx_n=qpn.

Механическая интерпретация дисперсии – это сумма произведений элементов массы веса на квадрат их расстояний от центра тяжести или центральный момент инерции. Понятие о моментах: существуют начальные, центральные и основные моменты для одномерной величины и основные моменты для системы двух величин. Начальным моментом любой случайной величины называется математическое ожидание этой случайной величины, возведенной в k^ую степень. Тогда говорят о начальном моменте k^ого порядка.

ν_k=Mx^k. Из этого определения следует, что математическое ожидание является начальным моментом первого порядка. Центральным моментом k^ого порядка называется математическое ожидание μ_k=M(x-Mx)^k разности между значениями x и их математическими ожиданиями, возведенной в k^ую степень. Из формулы видно, что центральным моментом второго порядка является дисперсия.

Для дискретной случайной величины:

Д ля непрерывной случайной величины:

Д ля анализа симметричности распределения вводится параметр, называемый коэффициентом асимметрии (А).

Е сли А≈0 – распределение симметричное, А<0 – левосторонняя асимметрия, то есть кривая распределения полога слева, А>0 – правосторонняя асимметрия, то есть кривая распределения полога справа. Для характеристики формы кривой рассчитывается новый параметр, называемый эксцессом:

Стандартной кривой является та, при которой E=3. Поэтому во многих случаях приводится формула:

Т огда эксцесс анализируется так: если E=0, то вершина примерно стандартна, E>0 – островершинное распределение, E<0 – плосковершинное распределение. Задача: случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей:

Н айти: основные характеристики положения и рассеяния, а также оценить кривую распределения, используя следующие формулы: