Свойства функции распределения

Пусть возможные значения х находятся в интервале: -∞<x<+∞.

• Если текущая x=-∞, F(x)=p(x<X)=0; это событие - невозможное.

• Текущая x=+∞, F(x)=p(X<x)=1. Эти свойства можно записать

• Пусть на числовой оси выбраны две точки:

• p (a<x<b)

a b x

Используя определения событий можно записать: (x<b)=(x<a)+(a≤x<b) - (x<a) в данном случае событие несовместимое. По теореме сложения вероятностей p(x<b) (вероятность события, состоящего в том, что случайная величина х примет значение меньше b): p(x<b)=p(x<a)+p(a≤x<b).

p(a≤x<b)=p(x<b)-p(x<а). Можно воспользоваться определением интегральной функции. p(a<x<b)=F(a)-F(b) – вероятность того, что случайная величина попадет в заданный интервал, равна приращению ее функции распределения на этом интервале.

• F(x) не убывающая функция, то есть, если b≥a, то F(b)≥F(a).

• Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение равна нулю. Пусть a=x₁, b=x₁+Δx: p(x₁<x<x₁+Δx)=F(x₁+Δx)-F(x)=0. Поэтому эквивалентны следующие записи:

  • p(a<x<b)= p(a≤x<b)= p(a<x≤b)= p(a≤x≤b).

  • p (a≤x≤b)=p(a)+…+p(b)

Построить закон распределения для , при x>0, x≤3:

p(0<x≤3)=p(0)+…+p(3)

F(x)=0, ≤0

1, >3

1

2/4

0 1 2 3

-1<x≤3

F(x)=0, x<1

, 1<x≤3

1, x≥3

В этом примере задана непрерывная случайная величина в виде интегральной функции, которая по определению должна быть непрерывной. Если неверно заданы границы интервалов нужно изменить их, чтобы выполнялись основные теоремы и аксиомы.

Пример, составить интегральную функцию распределения для дискретной случайной величины, обозначающей число дефектов для 3 изделий. График имеет вид ступенчатой функции, значение которой устанавливается равным сумме вероятностей возможных значений случайных величин, лежащих левее х:

x<0, F(x)=0

при 0≤x<1 F(x)=p(0)=0,125

при 1≤х<2 F(x)=p(0)+p(1)=0,5

при 2≤x<3 F(x)=p(0)+p(1)+p(2)=0,875

при x≥3 F(x)=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)=1

1

0,875

0,5

0,125

0 1 2 3

Таким образом, можно увидеть, что интегральный закон распределения справедлив и для непрерывных случайных величин и для дискретных случайных величин.

Плотность распределения

Для получения определения этой характеристики можно рассмотреть следующие модели:

• p(x<X<x+Δx)=F(x+Δx)-F(x)

• 

• Δ x→0

- это дифференциальный закон распределения. f(x) – это плотность распределения, или плотность вероятности. Она равна производной от функции распределения. Из формулы можно получить элемент вероятности: dF(x)=f(x)dx. f(x) – безразмерная величина. dx – имеет размерность данной случайной величины, значит f(x) имеет размерность обратную размерности случайной величины. f(x) графически представляется в виде кривой распределения.