Плотность распределения

, где ν=k – число степеней свободы. При ν=1: f(χ²) – убывает от ∞ при χ²→0 до нуля при χ²→∞. При ν=2:

- это показательное распределение. При ν>2: f(χ²) – возрастает до максимума в точке ν-2, а затем убывает более медленно, стремясь к 0. m₁=ν – математическое ожидание. μ₂=2ν – центральный момент второго порядка.

При увеличении ν, χ²-распределение является асимптотически нормальным, но сходится к нормальному очень медленно. При ν>30 - величина распределяется приближенно нормально со средним значением

и дисперсией равной 1.

В ероятность того, что можно получить значения χ²> некоторого выборочного значения χ²₀ определяется по формуле:

. Это формула χ²-распределения Пирсона. В таблице указываются эти значения при соответствующих α и числе степеней свободы ν.

Если вероятность p(χ²)>0,05, то расхождение между гипотезой и выборкой будет случайным, следовательно, H₀ принимается.

Распределение Стьюдента (Госсета) или t-распределение

Пусть U=N(0,1). Формируется новая случайная величина:

. Эта величина имеет t-распределение с k степенями свободы. Плотность распределения находится по формуле:

, где ν – число степеней свободы. При ν=1,

- распределение Каши.

В прикладных задачах критерий Стьюдента имеет различный вид, в частности, например, формируется t-статистика вида:

. Это оценка отклонения среднего значения выборки от среднего генеральной совокупности. График плотности распределения симметричен относительно оси ординат. В таблице указаны значения для t≥0. Если t>t_табл при выбранном α, то оно будет значимо. H₀: t незначимо (правосторонняя критическая область критерия). При n=30 t-распределение приближается к нормальному. При малых значениях ν, t-распределение более островершинное. t-распределение характерно для выборок, образованных из нормальной генеральной совокупности, но его можно применять и тогда, когда выборки взяты из генеральной совокупности, распределение которой незначительно отличается от нормального.

Распределение Фишера

Формируется новая статистика:

, которая называется f-распределением с k и l степенями свободы. Плотность распределения определяется по формуле:

Зависит только от ν₁ и ν₂. Значение F всегда больше нуля, поэтому график плотности располагается в первом координатном углу. f-распределение – это распределение можно получить из β-распределения второго рода, вводя следующие обозначения: , ,

и интегрируем от F до ∞. f-распределение выражает вероятность того, что некоторое значение F будет больше F заданного.

. При расчете f-критерия числитель всегда должен быть больше знаменателя. Большей оценке соответствует ν₁ – это столбец в таблице, ν₂ определяет строку таблицы. Каждая таблица приводится для нового α. Если f-критерий односторонний, то при F_расч>F_табл H₀ отвергается, то есть критическая область правосторонняя. H₀: σ₁²=σ₂²,

, и принимается H₁: σ₁²>σ₂², то есть дисперсии существенно отличаются. Если H₁ заключается в том, что σ₁²≠σ₂², то одинаковый интерес представляют отклонения σ₁² в ту или иную сторону от σ₂², а значит, критерий будет двусторонним. (2,5% уровень значимости). Широкое применение f-статистики связано с моделями дисперсионного анализа.