Система случайных величин

Рассмотренные ранее случайные величины (дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины) являются одномерными. Кроме них можно говорить о системе величин, то есть о двумерной, трехмерной и так далее, n-мерной величине. Самой простой системой является система двух величин.

• Обе случайные величины дискретны.

• Обе случайные величины непрерывны.

• Первая – дискретная, вторая – непрерывная.

• Первая – непрерывная, вторая – дискретная.

Третий и четвертый случай рассматриваться не будут.

Наиболее простыми распределениями являются распределения дискретных случайных величин. Закон распределения двумерной случайной величины представляет собой таблицу, где строки и столбцы соответствуют возможным значениям составляющих, или компонент.

y x	x1	x2	xi	xn	Σ
y1
y2
yi
yn
Σ					1 1

Элементом таблицы является безусловная вероятность того, что одна составляющая принимает возможное значение x_i, а другая составляющая возможное y_i.

А нализ таблицы позволяет получить формулы закона распределения каждой составляющей: для y -

для x -

Для непрерывных случайных величин при проведении статистического анализа также составляется таблица, где значения x_i и y_j соответствуют центрам единичных интервалов. Вероятности p(x_i,y_j) будут соответствовать опытным вероятностям. При этом объем выборки должен быть больше, чем при анализе одномерной величины (порядка 100 или более моделей). При этом наблюдаемым событием является событие, состоящее в том, что одна составляющая принимает значение, соответствующее i^ому единичному интервалу, а вторая составляющая принимает значение, соответствующее j^ому единичному интервалу.

Интегральная функция распределения

Это вероятность события, состоящая в том, что случайная величина x примет значение меньше текущего и при этом вторая составляющая y примет значение меньше другого текущего значения.

F(x,y)=p(X<x, Y<y).

Геометрическая интерпретация интегральной функции заключается в вероятности того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x,y), расположенный левее и ниже этой вершины.

y

(x,y)

0. x

Все свойства интегральной F(x) одномерной случайной величины справедливы и для двумерной, например вероятность попадания в интервал заменяется попаданием в полуполосу или в прямоугольник.

• Будем находить вероятность, если x задается интервалом, а y меньше текущего.

p(x₁<x< x₂, Y<y)

(x₁,y) (x₂,y)

y

x₁ x x₂

F(x₂,y)=p(X₂<x₂, Y<y)

, p(x₁y<x<x₂y)

• p(X<x, y₁< y< y₂)

y₂ (x,y₂)

y

y₁ (x,y₁)

, то есть p((x,y₁)<y<(x,y₂))

• p(x₁< x< x₂, y₁< y< y₂)

y₂ (x₁,y₂) (x₂,y₂)

y

y₁ (x₁,y₁) (x₂,y₁)

x₁ x x₂

(F(x₂,y₂)-F(x₁,y₂))-(F(x₂,y₁)-F(x₁,y₁))=F(x₂,y₂)-F(x₁,y₂)-F(x₂,y₁)+F(x₁,y₁)

Таким образом, вероятность попадания в ту или иную область связана с приращениями интегральной функции распределения.