Аксиомы, определяющие вероятность

• Каждому случайному событию А ставят в соответствие некоторое неотрицательное число, называемое его вероятностью: 0≤p(А)≤1

• Аксиома сложения. Для несовместимых событий справедливо высказывание: «Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий»: p(А₁+А₂+…+А_n)=p(A₁)+p(A₂)+…+p(A_n)

• Для произвольных событий существует теорема сложения: p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)

• Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

• Если А‹В, то вероятность события А не может превысить вероятность В.

• Для любого А: p (А) – вероятность противоположного события: p(Ā)=1-p(A).

Кроме двух требований к системе может быть предъявлено третье требование, а именно: если элементами системы являются события А₁, А₂, …,А_n, то в систему входит их сумма и произведение. Такое поле событий называется борелевским (1847-1956).

Случайные события подчиняются следующим законам:

• Коммутативный:

A+B=B+A;

A∙B=B∙A.

• Ассоциативный:

A+(B+C)=(A+B)+C

A(BC)=(AB)C

→ =

→

• Дистрибутивный :

A(B+C)=AB+AC

→ =

+ →

A+(BC)=(A+B)(A+C)

→ =

+ →

Законы тождества

– законы де Моргана

– двойное отрицание

Определения вероятности

Существует три определения:

• Классическое.

• Статистическое.

• Геометрическое, или геометрическая интерпретация.

  • Сводит понятие вероятности к понятию равновероятности. Пусть имеется группа событий G: E₁, E₂, …, E_n; где E_i – элементарное событие. Оно не подразделяется на частные случаи. Можно составить систему событий S: V, Ei, A, где А – событие, которое подразделяется на частные случаи, входящие в группу j. Пусть n=3, тогда G= E₁, E₂, E₃; S: V, E₁, E₂, E₃, E₁+E₂, E₂+E₃, E₁+E₃; U=E₁+E₂+E₃.

Для доказательства того, что частные случаи могут быть элементами системы, необходимо выполнить операцию умножения: (E₁+E₂)(E₁+E₃). Для поля событий S вероятность определяется: если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу из n попарно несовместимых и равновозможных событий, то вероятность события А равна: . При этом комплекс условий Q=const. Иначе вероятность равна отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу возможных результатов испытания.

• А имеет вероятность, если оно обладает двумя особенностями:

1. Теоретически при Q=const можно провести неограниченное число независимых испытаний, при которых А может появиться или не появиться.

2. При достаточно большом числе испытаний частость появления события незначительно отклоняется от некоторой неизвестной постоянной. Она является статистической вероятностью

• Пусть дана некоторая область G и внутри ее имеется g. В область G наугад (случайным образом) бросается точка. Тогда вероятность попадания точки в g не зависит от формы области и от положения ее внутри G, а зависит только от меры этой области:

G

g