Проверка статистических гипотез

Является обязательным разделом после выполнения тех или иных статистических расчетов. На результаты расчетов влияет множество факторов. При этом неучтенные факторы могут значительно влиять на получаемую выборочную характеристику. Тогда говорят, что этот фактор является существенным, или значительным. В других случаях ошибки расчетов связаны с действием случайных факторов, являющихся элементом комплекса условий Q. Тогда говорят о том, что ошибка не значима или несущественна. Поэтому в статистике выделяются критерии значимости. В рамках моделирования случайных величин этот критерий сопоставляется с критериями согласия, которые отвечают на вопрос: согласуются ли данные выборки с выбранными теоретическими зависимостями. Формулируется гипотеза о том, что данные выборки по величине x полностью соответствуют стандартному распределению случайных величин. Гипотезу нельзя доказать или опровергнуть, ее можно только либо принять, либо отвергнуть. Существует несколько видов критериев согласия: основными считаются критерий Пирсона, Колмогорова и других. Далее выбирается уровень значимости α. Он показывает величину ошибки первого рода. При этом ошибка второго рода β считается минимальной. Далее по стандартным формулам осуществляется расчет значения критерия и сравнение его с табличным. При этом указанные в таблице критические точки могут принадлежать либо односторонней, либо двусторонней критическим областям. При этом односторонняя критическая область может быть правосторонней или левосторонней. Если значение критерия попадает в критическую область, то гипотеза отвергается.

Алгоритм проверки статистических гипотез

Проверка гипотезы – это процедура сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными.

• Пусть высказана гипотеза о том, что неизвестная функция распределения исследуемой случайной величины x имеет определенную стандартную модель F(x)=F_теорет(x). Эта гипотеза называется основной, или нулевой (H₀). Конкурирующая с ней гипотеза называется альтернативной (H₁).

• Выбор уровня значимости α. Он связан с ошибкой первого рода, когда H₀ отвергается при верности этой гипотезы. Ошибкой второго рода считается принятие H₀ при верности H₁. α – это вероятность ошибки первого рода. Это вероятность принятия гипотезы H₁, если на самом деле в генеральной совокупности верна гипотеза H₀. α имеет стандартные табличные значения. При α=0,05 из ста выборок в среднем в 5 случаях будет совершена ошибка первого рода.

В таблице можно указать ошибки двух типов:

1.H0 верно	α=pH0(H1)	pH0(H0)=1-α
2.H1 верно	β=pH1(H0)	pH1(H1)=1-β

Выбор ошибки первого рода осуществляется при условии минимизации ошибки второго рода.

• Осуществляется расчет критерия φ.

• Анализируется критическая область, то есть подобласть таких значений критерия, которые свидетельствуют о значимом расхождении выборки с H₀ и о невозможности ее принятия. p(φ€W)=α, где W – критическая область. Существует три вида расположения W:

  • Правосторонняя (φ_α^кр, +∞)→p(φ>φ_α^кр)=α, тогда φ_α^кр является правосторонней критической точкой, соответствующей уровню значимости α.

  • Левосторонняя -(-∞,φ_α^кр)→p(φ<φ_α^кр)=α.

  • Д вусторонняя – состоит из двух интервалов:

Н аиболее распространенным критерием согласия является критерий Пирсона, или («хи-квадрат»):

, где n_j – выборочные частоты, - выравнивающие частоты, полученные по модели. k – это количество событий в полной группе. При анализе критического значения следует указать число степеней свободы. Например, ν=k-q, где q – это количество линейных связей. Их расчет связан с условиями эксперимента: если накладывается только одно ограничение, а именно сумма частот:

При выборе биномиального распределения и распределения Пуассона кроме этого условия накладывается еще одна связь, а именно, выравнивающие частоты должны давать среднее значение, соответствующее статистике выборки. ν=k-2.

О граничением в применении критерия Пирсона является то, что n_j≥5. χ² – критерий обладает правосторонней W. Поэтому H₀ принимается, если χ²-рассчетное меньше табличного. Кроме χ²-критерия можно реализовать критерий согласия Романовского. Он основан на применении критерия Пирсона и связан с расчетом новой статистики:

Если эта статистика ≥3, то расхождение можно считать существенным, иначе, случайным.