Свойства плотности распределения

• Так как F(x) – возрастающая, то f(x)≥0, то есть график кривой распределения лежит выше оси абсцисс.

• Вероятность попадания в интервал ab:

то есть: p(-∞<x<+∞)=1=

f(x)

x

a Δx b

• Пусть a=-∞, b=+∞: p(-∞<x<+∞)=1, то есть площадь всей фигуры под кривой распределения всегда равна единице

• Е сли определена только верхняя граница интервала изменения x, то функцию распределения можно найти как интеграл с нижним пределом -∞ и верхним x:

f(x)=1/4

1/4

1 2 3

• Механическая интерпретация f(x) – это линейная плотность распределения веса (массы) по оси абсцисс.

Числовые характеристики случайных величин

Чаще всего F(x), f(x) – неизвестны, поэтому возникает необходимость определения некоторых чисел, которые характеризуют наиболее существенные особенности распределения. Это числовые характеристики случайных величин, в частности характеристики наложения и рассеяния – это мода, медиана и математическое ожидание.

Для дискретных случайных величин оценка положения формируется как среднее взвешенное из значений x_i, где весом является вероятность:

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическое ожидание числа появления события в одном опыте. Закон распределения

x	0	1
p(x)	1-p	p

Mx=0∙q+1∙p=p

q=1-p

Математическое ожидание числа появления события в одном испытании равно вероятности этого события.

Пусть проведено n опытов, где случайная величина x появилась.

Если M₁, то значит x₁

Если M₂, то значит x₂

…………………………

Если M_n, то значит x_n.

М ожно найти среднее арифметическое x:

(p_i) – статистическая вероятность.

В соответствии с теоремой Бернулли среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к ее математическому ожиданию. Доказательство этой теоремы дал Чебышев (в 1846 году). Поэтому вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что оно примерно равно среднему значению.

Механическая интерпретация математического ожидания – это абсцисса центра тяжести системы материальных точек с общим весом равным единице.

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание существует на интервале. В формуле нужно заменить x_i на непрерывно изменяющийся параметр х. p_i – элементом вероятности f(x)∙dx, а сумму интегралом.

то есть математическое ожидание непрерывной случайной величины равно определенному интегралу от произведения x на плотность распределения f(x).

Механическая интерпретация математического ожидания – это момент от суммарной силы p, приложенной к центру тяжести системы.

Мода – это наиболее вероятное значение. Она используется для классификации распределений по числу max^ов или min^ов. Если распределение имеет один max, то оно унимодальное. Если более одного – полимодальное. Если распределение имеет min, то оно антимодальное. Мода существует для дискретных случайных величин и непрерывных случайных величин.

Медиана – это абсцисса точки, в которой кривая распределения делится пополам. Кривая распределения непрерывной случайной величины:

μ_e

Можно воспользоваться свойствами, касающимися вероятности попадания x в область левее медианы: p(x<μ_e)=p(x>μ_e), то есть: p(x<μ_e)+p(x>μ_e)=1→ p(x<μ_e)=1/2=F(μ_e)=0,5.