Лабораторна робота № 6. Апроксимація Теоретичні відомості

Функція задана таблицею своїх значень:

X	x0	x1	x2	...	xn
Y	y0	y1	y2	...	yn

Задача апроксимації полягає у знаходженні аналітичного виразу для опису функції , яка задана у вигляді таблиці. У випадку лінійної апроксимації ця залежність шукається у вигляді поліному першого ступеню:

.

Невідомі параметри а і b знаходять з умови, щоб квадратичне відхилення (N – кількість заданих точок) було мінімальним.

Параметри а і b знаходять з системи лінійних рівнянь:

.

Приклад 6.1. Виконати лінійну апроксимацію

X	1	2	3	4	5
Y	1,02	1,5	1,667	1,75	1,8

N=5,

=1+2+3+4+5=15,

,

,

.

Система рівнянь має вигляд:

.

Знайдемо розв’язок системи за формулами Крамера:

,

, ,

, .

Апроксимуючий многочлен має вигляд:

.

Багато нелінійних функцій, що залежать від двох параметрів, можна лінеарізовати шляхом заміни змінних. Наприклад, якщо початкова залежність має вигляд , то взявши логарифм від початкової рівності і ввівши нові змінні і , отримуємо задачу про визначення коефіцієнтів лінійної залежності . Далі обчислені коефіцієнти a1 і b1 перераховуються в коефіцієнти a і b.

Можливі заміни змінних наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Вид залежності	Заміна змінних	Обмеження	Зворотна заміна
Гіперболічна
Логарифмічна
Показова
Степенева
Комбінована

Для виконання лінійної регресії за методом найменших квадратів у MathCad є наступні функції:

– intercept(vx,vy) – повертає значення параметра а;

– slope(vx,.vy) – повертає значення параметра b (наклон);

– corr(vx,vy) – коефіцієнт кореляції Пірсона.

Для поліноміальної апроксимації призначені наступні функції:

– regress(vx,vy,n) – повертає вектор, елементами якого є коефіцієнти полінома ступеня n, що наближає точки, задані векторами vx та vy.

– interp(v,vx,vy,x) – повертає значення інтерполяційної функції в точках, що задані вектором x; vx і vy – масиви експериментальних точок; v – масив, отриманий як результат функції regress.

Завдання

1. Виконати апроксимацію експериментальних даних використовуючи:

1. лінійну залежність;

2. поліном другого степеню;

3. функції з таблиці 1.

2. Вирішити, яка залежність найкращим чином апроксимує вихідні дані.