Лабораторна робота № 1. Векторні та матричні норми. Обумовленість слау Теоретичні відомості

Норми вектора визначаються за формулами:

1. Абсолютна норма (норма l₁ або 1-норма) .

2. Евклідова норма (норма l₂ або 2-норма) .

3. Максимальна норма (норма l_∞ або ∞-норма) .

Норми матриці обчислюються за формулами:

1. Перша норма (1-норма) .

2. Нескінченна норма (∞-норма) .

3. Евклідова норма .

Для знаходження першої норми потрібно знайти суму модулів елементів кожного із стовпців матриці та вибрати максимальну з цих сум.

Для обчислення норми за нескінченністю потрібно аналогічні дії виконати з рядками матриці А.

Приклад 1.1. Знайти норми вектора та матриці: , .

,

,

,

,

,

.

Абсолютна помилка вектора визначається за формулою .

Відносна помилка вектора : .

Число обумовленості матриці А характеризує величину можливого зростання відносної погрішності рішення системи , викликаного погрішністю вихідних даних і обчислюється за формулою:

.

Якщо , то система називається погано обумовленою. Розв’язок такої системи дуже чутливий до малих погрішностей вхідного вектора b.

Для погрішності наближеного розв’язку системи лінійних рівнянь справедлива оцінка:

.

Функції Mathcad norm1(A), norm2(A), norme(A), normi(A) обчислюють величини , , , відповідно. Вбудованих функцій для обчислення норм векторів немає.

Функції cond1(A), cond2(A), conde(A), condi(A) обчислюють відносне число обумовленості квадратної матриці А, використовуючи відповідні норми.

Завдання

1. Обчислити норми вектора .

2. Обчислити норми матриці .

3. Дана система рівнянь Ax=b. Дослідити залежність погрішності розв’язку x від погрішностей правої частини системи b.

Порядок виконання

Обчислення норм вектора

	Для обчислення максимальної норми вектора зручно скористатися вбудованою функцією max(v).
	Евклідова норма вектора обчислюється за допомогою клавіші |x| панелі Calculator.
	Для обчислення суми модулів елементів вектора використовується кнопка на панелі Matrix.

Обчислення норм матриці

Обчислення суми модулів елементів кожного стовпця матриці:

Для вводу елементів вектора використовуйте відповідні кнопки на панелі Matrix

Перша норма матриці А дорівнює максимальному з цих значень:

Обчислення суми модулів елементів кожного рядка матриці:

Нескінчена норма:

Обчислення норм матриці за допомогою вбудованих функцій:

Обчислення числа обумовленості матриці за визначенням. Для цього знайдемо норми оберненої матриці.

Перемноживши, отримаємо:

Результат вбудованої функції:

Дослідження системи лінійних рівнянь

Визначення матриці системи A і вектора правої частини b:

Розв’язання системи Ax=b використовуючи вбудовану функцію lsolve(A, b) (ця функція реалізує метод Гауса):

Внесення похибки у праву частину системи:

Розв’язок системи з похибкою:

– абсолютна похибка вхідних даних;

– відносна похибка вхідних даних.

За допомогою вбудованої функції cond1(A) обчислити число обумовленості матриці A:

– теоретична оцінка похибки розв’язку;

– практична абсолютна похибка розв’язку;

– практична відносна похибка розв’язку;

– порівняння похибки розв’язку з похибкою вихідних даних.