Контрольні питання

1. Як визначаються норми вектора?

2. Як визначаються норми матриці?

3. Види погрішностей.

4. Оцінка погрішностей з використанням норм.

5. Визначення числа обумовленості матриці.

6. Що таке погано обумовлена система рівнянь?

1. Обчислити норми векторів , , .

2. Обчислити норми матриці A= .

3. Дано 2 вектори x1=(–3, 2.4, 5.5) і x2=(–3.1, 2.4, 5.4), що є наближеннями до вектора x=(–3, 2, 5). Який з векторів є точнішим наближенням до вектора x?

3. Знайти відносне число обумовленості матриці .

4. Що повертає функція condi(A)?

Лабораторна робота № 2. Розв’язання систем лінійних рівнянь Теоретичні відомості

Дана система n лінійних рівнянь з n невідомими:

або у матричній формі

,

де

, , .

А – матриця системи, що складена з коефіцієнтів при невідомих; b – вектор вільних членів системи; х – вектор невідомих.

Система має розв’язок і цей розв’язок є єдиним, якщо її визначник не дорівнює нулю _.

Розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гауса складається з двох етапів:

1. Перетворення вихідної системи до трикутного виду (прямий хід).

2. Визначення невідомих (зворотний хід).

Приклад 2.1. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

.

Прямий хід. Виключимо невідоме х₁ з другого та третього рівнянь системи. Розділивши елементи першого рядка на a₁₁=5 отримуємо перше опорне рівняння:

.

Далі помножимо його на a₂₁=1 і віднімемо з другого рядка, після чого помножимо опорний рядок на a₃₁= –3 і віднімемо з третього рівняння. Отримаємо систему:

.

Друге опорне рівняння – результат ділення другого рядка системи на коефіцієнт при х₂:

.

Після множення цього рівняння на коефіцієнт при х₂ третього рівняння (тобто 2) і віднімання з останнього рівняння системи, отримаємо:

.

Зворотний хід. З останнього рівняння знаходимо х₃=1.

,

.

Для розв’язання системи методом простої ітерації необхідно вихідну систему привести до вигляду:

. (2.1)

Ітераційний процес виконується за формулою:

. (2.2)

Процес збігається, якщо будь-яка з норм матриці менше одиниці:

, , . (2.3)

Для приведення системи до вигляду, необхідного для виконання ітерацій, з першого рівняння виражають х₁, з другого рівняння х₂ і т.д. В результаті отримаємо систему з матрицею С, в якій на головній діагоналі стоять нульові елементи, а інші елементи обчислюються за формулою:

.

Елементи вектора f обчислюються за формулою:

.

Приклад 2.2. Виконати три ітерації методом простої ітерації:

.

Перетворимо систему до вигляду, необхідному для ітерацій:

,

, .

Оберемо як початкове наближення вектор f:

.

Розрахунки на першому кроці ітераційного процесу мають вигляд:

Аналогічно отримаємо наступне наближення:

.

Завдання

Дана система рівнянь Ax=b.

1. Знайти розв’язок системи за допомогою методу Гауса.

2. Розв’язати систему методом ітерацій.

3. Розв’язати систему за допомогою вбудованої функції lsolve.

4. Розв’язати систему за допомогою блоку Given…Find.