Лабораторна робота № 7. Чисельне інтегрування Теоретичні відомості

Для наближеного обчислення інтеграла інтервал [a,b] розбивають на n частин точками ,…, , де – крок.

Формула центральних прямокутників:

. (7.1)

Оцінка погрішності методу має вигляд:

, де . (7.2)

Формула трапецій:

. (7.3)

Помилка обмеження при використанні методу трапецій:

. (7.4)

У разі, коли число відрізків розбиття парне (n=2m), формула Сімпсона має вигляд:

. (7.5)

Оцінка погрішності для формули Сімпсона

, . (7.6)

Приклад 7.1. Обчислити наближені значення інтеграла за формулами центральних прямокутників, трапецій і Сімпсона з кроком h=0.1.

Складемо таблицю значень функції на інтервалі [1, 2] з кроком h=0,1.

Для обчислень за формулою прямокутників:

, , i=1, 2, … N,

– кількість інтервалів розбиття.

Наприклад, .

Для обчислень за формулами трапецій та Сімпсона:

, , i=0, 1, … N.

	Для методу прямокутників			Для методу трапецій і Сімпсона
i	X		y	x	Y
0				1.00000	0.00000
1	1.05000	0.05123		1.10000	0.10484
2	1.15000	0.16073		1.20000	0.21879
3	1.25000	0.27893		1.30000	0.34107
4	1.35000	0.40514		1.40000	0.47106
5	1.45000	0.53877		1.50000	0.60820
6	1.55000	0.67930		1.60000	0.75201
7	1.65000	0.82628		1.70000	0.90207
8	1.75000	0.97933		1.80000	1.05802
9	1.85000	1.13809		1.90000	1.21952
10	1.95000	1.30227		2,00000	1,38629

Завдання

1. Обчислити значення інтеграла у символьному вигляді.

2. Обчислити наближене значення інтеграла методом прямокутників, трапецій, Сімпсона та оцінити погрішність за формулами (7.2)–(7.6).

3. Використовуючи панель програмування, написати функцію обчислення інтеграла за формулою Сімпсона з точністю 0,0001. Погрішність оцінювати за правилом Рунге. Побудувати графік залежності значення інтегралу від кількості інтервалів.

Порядок виконання

Визначення підінтегральної функції:

Границі інтегрування та крок:

Обчислення первісної:

Перевірка:

Обчислення визначеного інтеграла у символьному вигляді

Чисельне інтегрування

Кількість інтервалів розбиття:

Побудова таблиці значень функції для метода прямокутників:

Розрахунок за формулою прямокутників:

Символьне обчислення другої похідної:

Графік модуля другої похідної:

Видно, що максимальне значення модуль другої похідної приймає в точці x=a.

Обчислення погрішності за формулою (7.2):

Точне значення погрішності:

Побудова таблиці значень для методу трапецій:

Обчислення інтеграла за методом трапецій:

Обчислення похибки:

Точне значення похибки:

Обчислення інтегралу за методом парабол:

Символьне обчислення четвертої похідної:

Графік модуля четвертої похідної та обчислення похибки:

Точне значення похибки:

Примітка: Кількість знаків після коми задається в меню Format/result шляхом установки значення в полі Number of decimal places.

Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона (7.5)

m – ціле число, що визначає кількість інтервалів розбиття (n=2m);

Sum4, Sum2 – суми значень функції, які входять до формули Сімпсона з множником 4 та 2 відповідно;

d – погрішність;

ε – точність обчислення наближеного значення інтеграла;

I1, I2 – значення інтеграла, обчислені з кроком h і h/2 відповідно.

Для обчислення інтеграла з точністю 10^–5 необхідно 8 інтервалів, при цьому похибка складає 4,8210^–6.

Точне значення інтеграла:

Графік залежності наближеного значення інтеграла від n (суцільна лінія відповідає точному значенню інтеграла):