Лабораторна робота 10. Розв’язання диференційних рівнянь в частинних похідних Теоретичні відомості

Диференційним рівнянням в частинних похідних називається рівняння відносно функції декількох змінних (обов'язково більш ніж однієї), що містить саму цю функцію (необов'язково) і її частинні похідні за різними аргументами.

Лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку має вигляд:

_.

Рівняння є еліптичного типу, якщо _, параболічного типу, якщо , гіперболічного типу, якщо _.

Розв’язком рівняння є функція _.

Чисельне вирішення диференціальних рівнянь в частинних похідних методом кінцевих різниць полягає в наступному:

1. Побудова в заданій області сітки з (n–1)(m–1) вузлів (точки перетину ліній сітки). Для розв’язання рівняння необхідно визначити наближені значення шуканої функції u_i,j у вузлах сітки (i=1, 2…n–1, j=1, 2, …m–1).

Побудова сітки в прямокутній області при n=5, m=7

2. Наведення похідних у формі кінцевих різниць:

_(10.1)

_або

_, (10.2)

де ,

_{, ,}

_,

3. Складання різницевого рівняння для кожного внутрішнього вузла.

4. Перетворення початкових і граничних умов до дискретного вигляду.

5. Розв’язання отриманої системи алгебраїчних рівнянь.

Постановка задачі для рівняння теплопровідності. Відшукати функцію u(x,t), яка в області задовольняє рівнянню:

_(10.3)

початковій умові:

_(10.4)

і граничним умовам:

_{, (10.5)}

Явна схема. Використовуючи формули (10.1), (10.2), перейдемо від рівняння в частинних похідних (10.3) до різницевого рівняння:

, i=1, 2,…n–1, j=1, 2,…m–1.

Після перетворень отримаємо:

, i=1, 2,…n-1, j=1, 2,…m-1. (10.6)

Формула (10.6) представляє явну систему рівнянь для невідомих u_i,j+1. Перший рядок рішення (j=0) знаходять на підставі початкових і граничних умов. Другий рядок можна обчислити безпосередньо з (10.6), поклавши j=0. Таким же чином можна обчислити третій рядок, поклавши j=1. Далі рішення обчислюється аналогічним чином.

Процес обчислення рішення збігається і стійкий, якщо:

або . (10.7)

Неявна схема для рівняння теплопровідності:

, i=1, 2,…n-1, j=1, 2,…m-1. (10.8)

Схема (10.8) збігається і стійка для всіх >0. Тому можна брати достатньо велику величину кроку за часом.

Приклад 10.1. Розв’язати одновимірне рівняння теплопровідності явним методом для , _{, h=0.1, =0.005.}

Початкова умова: .

Крайові умови: .

Визначимо сітку: _{, .}

Умова збіжності виконується, оскільки .

Підставивши в (10.6) значення _,

_{отримаємо розрахункову формулу}

i=1, 2, …, n-1, j=1, 2, …, 5.

Початкова умова , де

, , i= 1, 2, 3, 4.

Крайові умови: , j=0,1, 2, …, 6.

За допомогою початкової умови обчислюємо перший рядок розв’язку (j=0, i= 1, 2, 3, 4). Наприклад,

Далі обчислюємо другий рядок розв’язку (j=1).

_{В таблиці наведені розраховані значення температури у вузлах сітки}

	i	0	1	2	3	4	5
j	xi tj	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
0	0	0	0.604	1.012	1.07	0.715	0
1	0.005	0	0.506	0.837	0.863	0.535	0
2	0.010	0	0.418	0.685	0.686	0.432	0
3	0.015	0	0.342	0.552	0.558	0.343	0
4	0.020	0	0.276	0.45	0.448	0.279	0
5	0.025	0	0.225	0.362	0.365	0.224	0
6	0.03	0	0.181	0.295	0.293	0.182	0

Для розв’язання рівнянь параболічного типу призначена функція pdesolve, яка застосовується в рамках обчислювального блоку. Блок розв’язку починається зі слова Given. Рівняння, які необхідно вирішити, повинні бути визначені усередині обчислювального блоку.

pdesolve(u, x, xrange, t, trange, [xpts], [tpts]) – повертає скалярну (для єдиного початкового рівняння) або векторну (для системи рівнянь) функцію двох аргументів (x,t), що є розв’язком диференціального рівняння (або системи рівнянь) в частинних похідних.

u – ім'я функції або вектор імен функцій (без вказівки імен аргументів). Ці функції, а також граничні умови (у формі Дирихле або Неймана) повинні бути визначені перед застосуванням функції pdesolve в обчислювальному блоці після ключового слова Given. Якщо вирішується не система рівнянь в частинних похідних, а єдине рівняння, то, відповідно, вектор u повинен містити тільки одне ім'я функції і перетворюється на скаляр;

х – просторова координата (ім'я аргументу невідомої функції);

xrange – просторовий інтервал. Цей вектор повинен складатися з двох дійсних чисел, що представляють ліву і праву межу розрахункового інтервалу;

t – час;

trange – часовий інтервал. Вектор складається з двох дійсних чисел, що представляють ліву і праву межу розрахункового інтервалу за часом;

xpts – кількість просторових точок дискретизації (може не указуватися явно, у такому разі буде підібрано програмою автоматично);

tpts – кількість шарів, тобто інтервалів дискретизації за часом (також може не указуватися явно).

Примітки:

1. При записі рівнянь усередині обчислювального блоку після імені функції в дужках указують її аргументи, наприклад u(x,t). Для позначення похідних використовується нижні індекси (клавіша «.»). Наприклад, u_xx(x,t) – друга похідна по х.

2. Для розв’язання рівняння необхідно задати початкові умови і n граничних умов (n – порядок диференціального рівняння).