Лабораторна робота № 3. Розв’язання нелінійного рівняння Теоретичні відомості

Будь-яке рівняння з одним невідомим може бути зображено у вигляді:

f(x)=0. (3.1)

Постановка задачі. Знайти корені рівняння (1), тобто такі значення х, які обертають рівняння в тотожність. Задача пошуку коренів зводиться до знаходження всіх точок перетину графіка функції f(x) з віссю x.

Якщо в запис рівняння входять тільки алгебраїчні функції, то рівняння називається алгебраїчним і може бути приведено до вигляду:

.

Всі неалгебраїчні функції: показова , логарифмічна log_ax, тригонометричні sinx, cosx, tgx, ctgx і зворотні тригонометричні arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx – називаються трансцендентними.

Якщо в запис рівняння входять трансцендентні функції, то рівняння називається трансцендентним, наприклад .

Вирішення рівняння складається з двох етапів.

1. Відділення коріння – знаходження інтервалів, кожен з яких містить один і лише один корінь рівняння.

2. Уточнення наближеного значення кореня.

Метод хорд. Процес ітерацій здійснюється відповідно до формули:

. (3.2)

У цій формулі X – та з граничних точок відрізку, в якій виконана умова:

. (3.3)

Як початкове наближення вибирається протилежна гранична точка відрізку.

Умова завершення ітерацій:

.

Метод Ньютона (метод дотичних). Процес ітерацій виконується за формулою:

. (3.4)

Як початкове наближення повинна бути вибрана гранична точка відрізку, в якій виконується умова (3.3).

Умова зупинки процесу ітерацій в методі Ньютона:

.

Метод ітерацій. Початкове рівняння переписується в еквівалентному вигляді . Ітераційний процес описується формулою:

. (3.5)

Ітераційний процес збігається незалежно від початкового значення , тобто має границю, що є коренем рівняння, якщо виконується умова:

. (3.6)

Для методу ітерацій справедлива наступна оцінка погрішності знайденого значення кореня:

. (3.7)

Умова (3.7) означає, що , коли , ε – задана точність. Можна прийняти .

Приклад 3.1. Розв’язати рівняння методом ітерацій з точністю .

x
–3	–25
–2	–7
–1	–1
0	–1
1	–1
2	5
3	23

Так як і , то корінь міститься в інтервалі .

Перепишемо рівняння у вигляді . Тоді:

, .

, .

Отже, умову (3.6) збіжності ітерацій не виконано.

Оберемо функцію .

Тоді , , .

Приймемо .

Отже, умова збіжності (3.6) виконана.

Умова завершення ітерацій має вигляд:

.

Початкове наближення .

Таким чином, корінь рівняння дорівнює , а задана точність досягнута за k=4 ітерації.

Для розв’язання рівнянь в Mathcad призначені наступні функції:

– root (f(z), z) повертає значення z, при якому функція f(z) приймає значення, рівне нулю. Перед використанням цієї функції необхідно задати початкове наближення для z;

– polyroots(v) повертає всі корені полінома, як дійсні, так і комплексні;

– v – вектор, що містить коефіцієнти полінома, при чому перший елемент є вільним членом рівняння.

Примітка. 1. Якщо рівняння має декілька коренів, результат функції root залежить від початкового наближення. 2. Початкове наближення можна обрати за допомогою графіку функції.