Завдання

1. Методом кінцевих різниць звести крайову задачу до системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

а=0, b=1, , , , ya=0, yb=-2, n=5.

2. Розв’язати крайову задачу методом кінцевих різниць в Mathcad.

3. Розв’язати методом стрільби за допомогою вбудованої функції sbval.

4. Розв’язати за допомогою функції odesolve

5. Побудувати графіки отриманих наближених рішень.

Порядок виконання

Обчислимо крок сітки: і розіб’ємо інтервал [0, 1] на частини. В результаті отримаємо шість вузлових точок:

, , , , , .

Замінимо дане рівняння у внутрішніх точках різницевим рівнянням:

.

В граничних точках:

Таким чином отримаємо систему з n+1=6 лінійних рівнянь відносно (n+1) невідомих , , , , , що є значеннями функції y(x) у вузлах сітки:

Після перетворень система має вигляд:

Розв’язання методом кінцевих різниць

Границі інтервалу:

Розмір сітки:

Граничні умови:

Крок сітки:

Формування тридіагональної матриці системи рівнянь:

Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Формування розв’язку крайової задачі:

Примітка: Щоб отримати формули для обчислення елементів матриць C та D, різницеве рівняння переписане у вигляді

.

Розв’язання за допомогою вбудованої функції sbval

Введемо позначення . Тоді вихідне рівняння перетворимо на систему рівнянь першого порядку:

Визначення вектору правих частин рівнянь системи:

– початкове значення для пошуку

– різниця між обчисленим і заданим значеннями на правій границі інтервалу

Розв’язання задачі Коші зі знайденою початковою умовою:

Розв’язання за допомогою функції odesolve

Графіки розв’язків

Контрольні питання

1. Постановка крайової задачі для диференційного рівняння другого порядку.

2. Суть методу кінцевих різниць.

3. В чому полягає метод стрільби?

4. За допомогою яких функцій можна розв’язати крайову задачу в Mathcad?

5. Що містить кожен з стовпців матриці, яку повертає функція rkfixed?

Варіанти завдань

№
1	0.7	4		0	1	0	4
2	0.4	5		1	2	0	-4
3	1	7		1	2	3	0
4	0.8	4		0	1	8	4
5	0.6	12		2	3	2	6
6	0.3	0.6x	8sin(x)	1	3	2	2
7	0.3x	5		1	2	0	-2
8		6		0	1	7	2
9	0.2	3x		1	2	1	6
10		5x	10	0	1	-2	2
11	1.2			0	1	-3	2
12	0.8	8cos(x)		1	2	0	5
13	0.4	6		0	1	1	2
14	0.7	3		3	4	3	0
15	1.4	2.4	–14cos(x)	1	2	0	2
16	1.4	7		2	3	1	1
17	0.6	3		0	1	3	0
18	sin(x)	6	–5	1.5	3	–3	1
19	x+3	5		1	2	2	3
20	0.2x	5		0	1	0	0
21	0.2			–1	1	1	2
22	0.4	4cos(2x)		1	2	0	5
23	0.6			0	1	2	3
24	0.2x	1.8	2sin(x–4)	1	3	1	1
25	0.5	5x		0	1.2	1	3
26		6	15–5x	–1	1	6	2