Концентрация носителей и зонная модель поверхности полупроводника

Ниже представлены соотношения для границы раздела вакуум-полупроводник, связывающие пространственный заряд (отнесенный к единице площади поверхности) и электрическое поле. Эти соотношения использованы в разделе 9.5.3. для расчета вольт-фарадных характеристик идеальных МДП-структур.

Рисунок 3.24 - Зонная диаграмма приповерхностной области полупроводника p-типа. Потенциал ψ определен по отношению к объему подложки (ψ = 0 в ее электронейтральной части) и отсчитывается от собственного уровня E_i . Изгибу зон на рисунке соответствует положительный знак поверхностного потенциала ψ_s. В режиме аккумуляции ψ_s < 0, в режиме обеднения ψ_B > ψ_s > 0 и при инверсии ψ_s > ψ_B

На рисунке 3.24 приведена зонная диаграмма приповерхностной области полупроводника p-типа идеальной МДП-структуры. В этой области электростатический потенциал ψ изменяется от значения на поверхности ψ_s до потенциала электронейтральной области полупроводника ψ = 0, выбранного за точку отсчета. Зависимость концентраций электронов и дырок от потенциала ψ определяется соотношениями [10]

; (3.47)

, (3.48)

где n_p0 и p_p0 – равновесные плотности электронов и дырок в объеме полупроводника . Потенциал ψ положителен, если зоны изогнуты вниз (рисунок 3.24). Соответствующие поверхностные концентрации определяются соотношениями

;

. (3.49)

Характерные интервалы изменения поверхностного потенциала можно определить следующим образом:

ψ_s < 0 – аккумуляция дырок (зоны изогнуты вверх);

ψ_s = 0 – состояние плоских зон;

ψ_B > ψ_s > 0 – режим обеднения (зоны изогнуты вниз);

ψ_s = ψ_B – n_s = p_s = n_i (n_i – собственная концентрация);

ψ_s > ψ_B – режим инверсии (накопление у поверхности неосновных носителей (электронов), зоны изогнуты вниз).

Зависимость потенциала ψ от расстояния до границы раздела x можно получить с помощью одномерного уравнения Пуассона

. (3.50)

В выражении (3.50) ε – относительная диэлектрическая проницаемость полу-проводника, а ρ(x) – плотность полного объемного заряда:

,

где и – концентрации ионизированных доноров и акцепторов соответственно. Отметим, что в объеме полупроводника вдали от поверхности выполняется условие электронейтральности, то есть ρ(x) = 0 при ψ = 0, а

.

В общем случае, согласно выражениям (3.47) и (3.48), для всех значений ψ имеем

.

В результате вместо уравнения (3.50) получим

. (3.51)

Интегрирование уравнения (3.51)

дает соотношение, связывающее электрическое поле и потенциал ψ:

. (3.52)

Для сокращения записи последующих формул обозначим

(3.53)

и введем так называемую дебаевскую длину дырок

.

Тогда электрическое поле

.

В этом выражении знак + нужно использовать при ψ > 0, а знак – при ψ < 0. Величину поверхностного электрического поля получим, подставив в выражение (3.54) ψ = ψ_s :

.

По закону Гаусса объемный заряд, отнесенный к единице площади границы раздела, индуцировавший это поле, составляет

.

Чтобы определить избыточные поверхностные плотности электронов Δn и дырок Δp при данном значении поверхностного потенциала ψ_s , необходимо вычислить следующие интегралы:

[см^–2]; (3.55)

[см^–2]. (3.56)

Типичная зависимость полного заряда Q_s от поверхностного потенциала ψ_s показана на рисунке 3.25. Она рассчитана для МДП-структуры на кремниевой подложке p-типа с см^–3 при комнатной температуре. При отрицательных ψ_s заряд Q_s положителен, что отвечает аккумуляции дырок на поверхности. В этом случае в выражении (3.53) доминирует первое слагаемое, так что . В состоянии плоских зон ψ_s = 0 и Q_s = 0. В режиме обеднения ψ_B > ψ_s > 0, а заряд Q_s отрицателен. При этом в выражении (3.53) доминирует второе слагаемое, так что . При сильной инверсии ψ_s >> ψ_B главным в выражении (3.53) является четвертое слагаемое, и в этом случае . Сильная инверсия наступает при поверхностном потенциале

, (3.57)

когда поверхностная концентрация неосновных носителей (электронов) становится равной исходной концентрации основных носителей p_p0.

Рисунок 3.25 - Зависимость плотности поверхностного заряда в полупроводнике от поверхностного потенциала для кремния p-типа, N_A = 10¹⁴ см^–3