3.4. Равновесная концентрация носителей заряда в полупроводнике

В соответствии со статистикой Ферми-Дирака вероятность за­полнения энергетического уровня электроном определяется энер­гией Е, соответствующей этому уровню, и абсолютной темпера­турой Т [16]:

(3.2)

где F – энергия уровня Ферми, вероятность заполнения кото­рого равна 1/2 и относительно которого кривая вероятности сим­метрична (рисунок 3.5).

Энергия Ферми представляет собой термодинамический потенциал Гиббса, отнесенный к одной частице. Её называют также электрохимическим потенциалом. Если в качестве точки отсчета энергии принять потолок валентной зоны (потенциальная энергия неподвижнцых электронов валентной зоны равна нулю), то для невырожденного полупроводника энергия Ферми будет предсталять собой среднюю энергию подвижного электронного газа: электронов зоны проводимости и дырок (подвижные электроны валентной зоны) в валентной зоне.

Рисунок 3.5 - Распределение электронов

в частично заполненной зоне (а) и вероятности заполнения энергетических уровней (б)

Э нергия уровня Ферми (F) соответствует верхней границе элект­ронного распределения при темпера­туре Т = 0, а также средней энергии «диапазона размытия» при любой другой температуре (рисунок 3.5). Сим­метрия кривой вероятности заполне­ния относительно уровня Ферми означает одинаковую вероятность заполнения уровня электроном с энергией, большей на величину Е – F, и вероятность освобождения уровня от электрона с энергией, на столько же меньшей энергии уровня Ферми.

С помощью соотношения (3.2) можно определять заполнение электронами зоны проводимости или валентной зоны полупроводника. Но для валентной зоны удобнее говорить о дырках – пустых энергетических уровнях в валентной зоне. Любой энергетический уровень может либо быть занят электроном, либо свободен от электрона. Поэтому сумма вероят­ностей этих двух событий должна быть равна единице f_n(E) + f_p(E) = 1.

Тогда вероятность заполнения энергетического уровня дыркой

. (3.3)

Уровень Ферми обычно расположен в запрещенной зоне энер­гетической диаграммы относительно далеко (в единицах энергии) от зоны проводимости и от валентной зоны по сравнению с энер­гией kТ (при комнатной температуре kТ ≈ 0,025 эВ), т.е.

|E – F| >> kT. (3.4)

Поэтому, пренебрегая единицей в знаменателе (3.2), вероят­ность распределения электронов по энергетическим уровням зоны проводимости опреде­лим с помощью стати­стики Максвелла – Больцмана

. (3.5)

Аналогично найдем вероятность распреде­ления дырок по энерге­тическим уровням ва­лентной зоны с учетом (3.3) и (3.4)

. (3.6)

Таким образом, для большинства полупроводников (невырож­денных) можно пользоваться статистикой Максвелла — Больцма­на и только в некоторых случаях для полупроводников (вырож­денных) необходимо использовать статистику Ферми-Дирака. В вырожденном полупроводнике уровень Ферми находится в разрешенной зоне, и концентрация подвижных носителей не зависит от температуры (как в металлах).

Для определения концентрации электронов в невырожденном полупроводнике надо проинтегрировать по энергии произведение функции распределения плотности энергетических состояний в зоне проводимости [N(E)] и вероятности заполнения этих уровней электронами (3.5). Интегрирование нужно прово­дить от энергии дна до энергии потолка зоны проводимости. Если же учесть ничтожно малую вероятность заполнения уров­ней электронами у потолка зоны проводимости, то можно верхний предел интегрирования считать равным бесконечности, т. е.

.

Рисунок 3.6 - Вероятность заполнения электронами энергетических уровней

при различных темпе­ратурах по статистике Ферми-Дирака

В результате интегрирования получим

, (3.7)

где N_С – эффективная плотность состояний в зоне проводимости; Е_С – энергия дна зоны проводимости.

Аналогично, равновесная концентрация дырок в любом невы­рожденном полупроводнике при термодинамическом равновесии

, (3.8)

где N_V – эффективная плотность энергетических состояний в ва­лентной зоне, энергия которых приведена к потолку валентной зоны; E_V – энергия потолка валентной зоны.

Таким образом, равновесная концентрация носителей заряда определяется эффективной плотностью уровней в соответствую­щей зоне, температурой и положением уровня Ферми относитель­но дна зоны проводимости или потолка валентной зоны.