3.11. Фундаментальные уравнения физики полупроводников

Математической основой моделей полупроводниковых приборов является система модифицированных уравнений Максвелла, включающая оба типа носителей заряда, процессы диффузии и генерации-рекомбинации.

Уравнения непрерывности потока, которым в любой момент времени подчиняется движение носителей заряда в полупроводнике, можно представить в виде

; (3.60,а)

, (3.60,б)

где (p – p₀) = ∆р , (n – n₀) = ∆n – избыточные концентрации носителей, ∆g_n , ∆g_p – скорости генерации носителей под действием внешних факторов, τ_n , τ_р – времена жизни, j_n , j_p – плотности токов.

Слагаемые в правых частях уравнений математически отражают возможные причины изменения концентрации носителей во времени: накопление носителей за счет генерации ∆g, рассасывание носителей при рекомбинации ∆р/τ_p , ∆n/τ_n накопление или рассасывание носителей, обусловленное неравенством потоков, втекающих и вытекающих из некоторого элементарного объема 1/q div j_p .

Уравнение Пуассона устанавливает зависимость дивергенции вектора напряженности электрического поля от плотности объемного заряда.

div ε = ρ/ ε ε₀ или , (3.61)

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника; ε₀ = 8,86∙10^–12 Ф∙м^–1,

φ – электростатический потенциал.

Уравнение Пуассона привлекается в тех случаях, когда напряженность ε существенно зависит от координаты, т.е. в полупроводнике имеется значительный объемный заряд.

Уравнения переноса показывают, что плотность тока в полупроводнике в общем случае обеспечивается дрейфом носителей заряда в электрическом поле с напряженностью и диффузией носителей под воздействием градиента концентрации:

j_p = q (p μ_p ε – D_p grad p); (3.62,а)

j_n = q (n μ_n ε – D_n grad n), (3.62,б)

где j_p и j_n – дырочная и электронная составляющие плотности тока.

Плотность полного тока j в полупроводнике равна сумме плотностей дырочного тока, электронного тока и тока смещения:

j = j_p + j_n + j_см , (3.63)

где .

При замещении прибора электротепловой моделью исходную систему уравнений дополняют уравнением теплопроводности, которое описывает тепловой режим прибора.

Исходная система уравнений (3.60) – (3.63) справедлива для макроскопических процессов и не учитывает влияние магнитного поля и неоднородностей структуры. В общем случае решение такой системы уравнений представляет собой нелинейную, непрерывную и неодномерную задачу. Нелинейность задачи связана с тем, что коэффициенты в уравнениях исходной системы зависят от плотности тока, напряженности поля и температуры, которые в свою очередь меняются с изменением режима эксплуатации прибора. Задача в общем случае неодномерная, так как электрические и тепловые процессы протекают в объеме структуры и зависят от времени и координаты. Модель прибора непрерывна во времени и пространстве, т.е. структура представляет собой единое целое и ее деление на отдельные области (база, переход, канал) является некоторым допущением.

Исходная система уравнений (3.60) – (3.63) является основой построения физико-топологических моделей. При этом уравнения в частных производных часто заменяют системой алгебраических уравнений, которая получается в результате представления производных в конечно-разностной форме.