Вопросы для самоконтроля
1. В чем состоит основная задача кинематики точки?
2. Какие существуют способы задания движения?
3. Какой способ задания движения удобно использовать при заданной заранее траектории точки?
4. В каких случаях удобно использовать полярную систему координат?
5. Какая существует зависимость между радиус-вектором точки и ее ускорением?
Задание № 7. «Кинематика точки» Рекомендации к решению задач
Уравнения движения задано естественным способом
1. Для определения скорости, нормального и касательного ускорений как функции от времени или в определенный момент времени необходимо найти производные от уравнения движения (7.11) по формулам (7.17), (7.19) – (7.21).
2. В случае, когда известна траектория точки и необходимо найти закон ее движения по заданной скорости или ускорению, задача решается путем интегрирования заданной функции. При этом должны быть заданы начальные или конечные условия для определения констант интегрирования.
Уравнения движения задано координатным способом
1. Необходимо получить уравнение траектории точки, исключив из исходных уравнений время.
2. Путем дифференцирования исходных уравнений определить проекции скоростей и ускорений на координатные оси.
3. По теореме Пифагора определить абсолютные скорость и ускорение.
4. В случае, когда необходимо найти уравнение траектории точки и закон ее движения по заданной скорости или ускорению, задача решается путем интегрирования заданной функции. При этом должны быть заданы начальные или конечные условия для определения констант интегрирования.
Уравнения движения задано векторным способом
1. В этом случае скорости и ускорения определяются путем дифференцирования исходного уравнения (7.1) по формулам (7.12) и (7.14).
2. Закон движения точки по траектории определяют по формуле (7.22).
Пример решения задачи
Задача 1. Найти уравнение траектории точки и ее начальное положение, если уравнения движения точки имеют вид
x = 2t, y = 5t.
Определить проекции скорости и ускорения на оси декартовой системы координат, найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение в начальный момент времени.
Решение
Чтобы найти уравнение траектории точки, достаточно исключить из уравнений время. Из первого уравнения находим
после чего подставляем во второе уравнение
Данное уравнение является уравнением прямой линии.
Для нахождения начального положения точки необходимо в уравнения движения подставить нулевое значение времени
Начальное положение точки М0 (0;0).
Находим проекции скорости на оси декартовой системы координат
Абсолютную скорость находим по теореме Пифагора
Находим проекции ускорения на оси декартовой системы координат
Абсолютное ускорение также находим по теореме Пифагора
Задача решена.
Задача 2. Определить траекторию, скорость и ускорение точки, движение которой задано уравнениями в полярных координатах
Решение
Чтобы найти уравнение траектории точки, достаточно исключить из уравнений время. Из второго уравнения находим
после чего подставляем в первое уравнение
Первые производные от уравнений движения в полярной системе
Закон изменения скорости находим по следующей формуле
Вторые производные по времени от радиус-вектора r и полярного угла φ
Закон изменения ускорения находим по формуле
