Глава 8. Простейшие движения твердого тела

Твердое тело – тело, у которого расстояние между его любыми двумя точками не меняется в процессе движения. Все движения тел можно разделить на свободные и несвободные – ограниченные наложенными связями.

Число степеней свободы – число независимых параметров, однозначно определяющих положение твердого тела в пространстве. Свободное твердое тело имеет п = 6 степеней свободы.

Различают пять видов движений твердого тела: поступательное, вращательное, плоскопараллельные, сферическое и движение свободного тела. К простейшим принадлежат поступательное и вращательное движения тела.

8.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательное – такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается в течение всего времени движения параллельная своем первоначальном положению.

Теорема: при поступательном движении все точки твердого тела описывают одинаковые (совпадающие при параллельном переносе) траектории и в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Данная теорема позволяет свести изучение движения твердого тела к изучению движения отдельной точки тела, поскольку уравнениями поступательного движения тела является уравнение движения одной точки (обычно центра тяжести тела)

x = f(t), y = f(t), z = f(t).

Точки тела при поступательном движении описывают произвольные траектории, в том числе и прямые, поэтому прямолинейное движение является частным случаем поступательного движения.

8.1.1. Прямолинейное поступательное движение

Прямолинейное – движение тела, при котором его траекторией является прямая линия. Положение любой точки при таком движении определяется одной координатой, а потому уравнение движения имеет вид

x = f(t). (8.1)

Виды прямолинейного движения:

1. Прямолинейное равномерное – движение тела по прямой линии с постоянной скоростью

υ = const.

Ускорение точки при таком движении равно нулю, а положение точки в любой момент времени определяется по формуле

x = х₀ + υt, (8.2)

поэтому графику пройденного расстояния прямая линия.

2. Прямолинейное равнопеременное – движение тела по прямой линии с постоянным ускорением

υ ≠ const, а = const.

Скорость тела меняется во времени по закону

υ = υ₀ + аt, (8.3)

а координата тела в любой момент времени определяется соотношением

x = х₀ + υ₀t + аt²/2, (8.4)

поэтому графику пройденного расстояния является парабола. Ускорение тела может быть как положительным, так и отрицательным.

При прямолинейном движении тела нормальное ускорение отсутствует, поэтому его абсолютное ускорение равно касательной

(8.5)

Примером прямолинейного равнопеременного движения является прямолинейное гармоническое колебательное движение. Другим случаем поступательного движения является криволинейное движение.

8.1.2. Криволинейное поступательное движение

Криволинейное – движение тела, при котором его траекторией является любая непрямая линия.

Виды криволинейного движения:

1. Плоское – число уравнений движения тела равна двум. Уравнения плоского криволинейного движения в декартовых координатах

x = х(t), y = у(t).

2. Пространственное – число уравнений движения тела равна трем. Уравнения пространственного криволинейного движения в декартовых координатах

x = х(t), y = у(t), z = z(t).

При криволинейном движении наряду с касательным имеет место еще и нормальное ускорение

(8.6)

По характеру криволинейное движение разделяют на два вида:

1. Равномерное криволинейное движение - тело движется по кривой с постоянной скоростью, тогда полное ускорение равно нормальному

2. Равнопеременное криволинейное движение – тело движется по кривой с переменной скоростью, а полное ускорение находится как геометрическая сумма нормального и касательного ускорений. Модуль полного ускорения тела

(8.7)

Если направление касательного ускорения совпадает с направлением скорости, то движение является равноускоренным, иначе – равнозамедленным.

8.2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором прямая, проходящая через какие-нибудь две точки ОО₁ во время движения остается неподвижной. Эта прямая является осью вращения.

Положение тела при его вращении вокруг неподвижной оси определяется углом поворота φ, который считается положительным при вращении против часовой стрелки.

Кинематическое уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси

(8.8)

Единицей измерения угла поворота φ в системе СИ является радиан (рад).

Угловая скорость – физическая величина, характеризующая изменение угла поворота во времени, равная первой производной по времени от угла поворота

(8.9)

Единицей измерения угловой скорости в СИ является радиан в секунду (рад/с).

Равномерное вращение – вращение, при котором угловая скорость является постоянной величиной (ω = const). Уравнение равномерного вращения тела вокруг неподвижной оси

(8.10)

где φ₀ – начальный угол поворота. Угловая скорость также определяет направление вращения: если ω > 0 – тело вращается в направлении увеличения угла поворота, а при ω < 0 – наоборот. Иногда используют среднюю угловую скорость за определенный промежуток времени

При равномерном вращении средняя и мгновенная угловые скорости одинаковы.

В технике вместо угловой скорости часто применяют частоту вращения п, которая измеряется в оборотах в минуту (об/мин) и связана с угловой скоростью соотношением

(8.11)

Наиболее медленные вращения встречаются в звездном мире. Так Солнце делает 1 оборот вокруг центра Галактики за 180 000 000 лет. В технике имеют место самые быстрые вращения – несколько миллионов оборотов в минуту (гироскопы Гюгенара в магнитном поле).

Угловая скорость является скользящим вектором, направление которого совпадает с осью вращения и определяется по правилу правого винта.

Угловое ускорение – физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости со временем, равная первой производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота

(8.12)

Единицей измерения углового ускорения является радиан за секунду в квадрате (рад/с²).

Угловое ускорение тоже является скользящим вектором, направленным вдоль оси вращения. Если направления векторов ω и ε совпадают, то вращение является ускоренным, если в противоположные – то замедленным. При ε = 0 вращения становится равномерным.

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение не изменяется (ε = const). Уравнение равнопеременного вращения тела вокруг неподвижной оси

(8.13)

где ω₀ – начальная угловая скорость.

Траекториями точек тела при вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры находятся в точках пересечения оси вращения с указанными плоскостями.

Расстояние, пройденное точкой при повороте на угол φ

(8.14)

где R – радиус вращения.

Линейная скорость – скорость любой точки, совершающей вращательное движение вокруг неподвижной оси. Если данная точка находится на ободе вращающегося тела, то ее скорость называют круговой. Скорость по определению

(8.15)

Линейная скорость при вращении вокруг неподвижной оси направлена по касательной к траектории в сторону вращения.

Линейное ускорение – ускорение любой точки, совершающей вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его удобно находить, воспользовавшись естественным способом задания движения

.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине

и имеет место только при ускоренном или замедленном вращении.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости тела по направлению

и всегда имеет место при вращательном движении. Тогда модуль линейного ускорения

(8.16)

Рис. 12. 1. – Ускорение при вращательном движении

Направление линейного ускорения определяется углом μ, образованным между ним и нормальным ускорением (рис. 12.1)