Глава 2. Момент силы и пары сил

2.1. Момент силы относительно точки

Для приведения произвольной системы несходящихся сил к более простому виду нужно ввести еще две основные величины статики: момент силы относительно точки (центра) и момент силы относительно оси.

М омент силы F относительно точки О – вектор, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор силы F (рис. 2.1)

М_о = r × F. (2.1)

Вектор момента силы М_о приложен в точке О и перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора r и F. Направлен он в сторону, откуда силу F видно стремящейся вернуть тело вокруг центра О против часовой стрелки.

Рис. 2.1. – Момент силы относительно точки

Модуль векторного произведения равен двум площадям треугольника с силой в основании и вершиной в точке О

М₀ = ׀r × P׀ = r·P∙sin(r ^ P) = Pd, (2.2)

где d – плечо силы (кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы АВ).

Если известны проекции на оси прямоугольных координат радиус-вектора r (x, y, z) и силы F (F_x, F_y, F_z), то момент силы можно определить, из данного определителя разложение по элементам первой строки

(2.3)

С другой стороны, момент силы относительно центра можно разложить по проекциям на координатные оси

М₀ = iМ_0x + jМ_0y +kМ_0z, (2.4)

Сравнивая между собой выражения (2.2) и (2.3), можно определить проекции момента силы относительно центра О на координатные оси

М_0x = yF_z – zF_y;

М_0y = zF_x – xF_z; (2.5)

М_0z = xF_y – yF_x.

Если проекции момента силы относительно точки на координатные оси известны, то его модуль можно определить из соотношения

, (2.6)

а направление по направляющим косинусам

Из (2.2) вытекают следующие свойства момента силы относительно центра:

- момент сил обращается в нуль в том случае, когда линия действия силы проходит через точку О, то есть плечо d = 0;

- при переносе силы по линии ее действия величина момента относительно точки О не меняется (рис. 2.2).

- при переходе от правой системы координат к левой и наоборот вектор момента силы, сохраняя величину, меняет направление на противоположное, поэтому он является псевдовектором.

Рис. 2.2. – Свойства момента силы относительно точки О

Существуют также и истинные векторы (скорость, ускорение и т.д.), величина и направление которых от вида системы координат не зависят.

Теорема Вариньона: момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно любого центра О равен векторной сумме моментов всех сил системы относительно того же центра

(2.7)

Доказательство. Пусть в точке А пересекаются линии действия всех п сил системы (рис. 2.3, а). Проведем радиус-вектор r из произвольного центра О к точке А. По правилу силового многоугольника найдем равнодействующую системы R (рис. 2.3, б), ее аналитическое выражение

и подставив в (2.1) определим момент равнодействующей относительно центра О

что полностью совпадает с (2.7).

Если все силы и центр О лежат в одной плоскости, их моменты будут лежать на одной прямой, проходящей через точку О перпендикулярно этой плоскости. Тогда момент равнодействующей равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Рис. 2.3. – Теорема Вариньона

2.2. Момент силы относительно оси

Моментом силы F относительно произвольной оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки этой оси. Вычисление моментов силы относительно осей выполняется по формулам (2.5). Для вычисления момента силы F относительно произвольной оси z можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Проводим произвольную плоскость I, перпендикулярную оси z и находим их точку пересечения А.

2. Проектируем силу F на эту плоскость и находим величину проекции F₁.

3 . Моментом силы F относительно оси z называется произведение модуля проекции силы F₁ на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо d₁ относительно точки О на пересечении оси с плоскостью (рис. 2.4):

М_z = ± F₁ d₁. (2.8)

4. Если при наблюдении навстречу оси z проекция F₁ стремится повернуть плоскость против часовой стрелки, момент считается положительным.

Рис. 2.4. – К определению момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен нулю, если:

а) линия действия силы параллельна оси, то есть F₁ = 0

б) линия действия силы пересекает ось, то есть плечо d₁ = 0.

Из (а) и (б) следует, что когда сила и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно этой оси равен нулю.

С войства момента сил относительно оси можно объяснить на простом примере (рис. 2.5). Двери могут свободно вращаться вокруг оси, на ручку с правой руки человека действует сила F. Эту силу можно разложить на перпендикулярную Р и параллельную Q составляющие. Параллельная оси составляющая Q не может открывать двери, поскольку находится с осью в одной плоскости. Действие же на двери составляющей Р зависит не только от ее величины, но и от расстояния до оси вращения (плеча).

Механический смысл момента относительно оси z в том, что он характеризует вращающий эффект силы F относительно этой оси. Он является скалярной величиной, так как не имеет собственного направления, а зависит от направления оси.

Рис. 2.5. – Свойства момента силы относительно оси

2.3. Пара сил и ее момент

П ара сил – система двух параллельних, равных по модулю и противоположно направленных сил Р и Р´ (рис. 2.6).

Пара сил стремится привести во вращение твердое тело, к которому она приложена. Она не имеет равнодействующей и силы, образующие пару, не уравновешиваются, так как они не лежат на одной прямой.

Рис. 2.6. – Пара сил

Основные характеристики пар сил:

- плоскость действия – плоскость, проходящая через линии действия сил, образующих пару;

- плечо пары d – кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару;

- момент пары сил – произведение модуля одной из сил пары на ее плечо

(2.9)

Основной характеристикой пары сил (степени ее механического воздействия на твердое тело) является ее момент. Он имеет ту же размерность, что и моменты относительно точки и оси (Н∙м) и является векторной величиной. Вектор момента пары сил М направлен перпендикулярно плоскости действия пары в сторону, откуда можно видеть пару сил стремящейся повернуть тело против часовой стрелки.

М омент пары сил считается положительным, если пара стремится вращать плоскость рисунка против часовой стрелки (рис. 2.7, а), и отрицательным – если пара стремится вращать плоскость рисунка по часовой стрелке (рис. 2.7, б).

Рис. 2.7. – К определению знака момента пары сил

2.4. Теоремы об эквивалентности

Теорема об эквивалентности пар сил, лежащих в одной плоскости: пары сил в одной плоскости эквивалентны, если их моменты равны по величине и одинаковые по знаку.

С ледствие: не меняя действия пары сил на твердое тело, ее можно переносить в любое место и поворачивать на любой угол в плоскости действия. Также можно менять плечо и величину сил, оставляя неизменным числовое значение и знак момента пары.

К примеру гаечный ключ (рис. 2.8) одинаково действует на гайку, к каким бы граням он бы не был приложен, поскольку момент пары остается неизменным.

Рис. 2.8. – Поворот пары в плоскости действия

Теорема об эквивалентности пар сил в пространстве: пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

С ледствие: не изменяя действия пары сил на твердое тело, ее можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости действия пары, изменять величину плеча и модуль силы, не изменяя при этом значения и направления ее момента.

Трансмиссионный вал (рис. 2.9) сообщает шкиву крутящий момент независимо от его расположения на валу – то есть момент пары не меняется при переносе в параллельную плоскость.

Рис. 2.9. – Перенос пары сил в параллельную плоскость

Поскольку пары сил можно переносить в любую точку и поворачивать на любой угол в плоскости действия, изменять величину силы и плеча, заменять систему пар сил эквивалентной парой, то из всего этого следует, что пара является свободным вектором (не имеет точки приложения). Этим момент пары отличается от момента силы.

2.5. Условие равновесия пар сил

Условие равновесия пар сил, произвольно расположенных на плоскости: пары сил, расположенные на плоскости (рис. 2.10), взаимно уравновешиваются только в том случае, когда алгебраическая сумма их моментов равна нулю

(2.10)

У словие равновесия пар сил, произвольно расположенных в пространстве: пары сил, произвольно расположенных в пространстве, взаимно уравновешиваются только в том случае, когда геометрическая сумма их моментов равна нулю

  (2.11)

В этих случаях момент эквивалентной пары сил равен нулю.

Рис. 2.10. – Равновесие пар сил на плоскости

2.6. Сложение пар сил

Система пар сил, действующих на твердое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов составляющих пар.

Пусть необходимо составить несколько пар сил, произвольно расположенных в пространстве (рис. 2.11). Определив их моменты по (2.9), перенесем их в любую точку О пространства. Далее по правилу треугольника или параллелограмма складываем полученные векторы моментов пар сил

Теорема о сложении пар сил, произвольно расположенных в пространстве: момент пары сил, эквивалентной системе пар сил в пространстве, равен геометрической сумме моментов пар сил, составляющих систему.

Е сли пары сил расположены в параллельных плоскостях, то теорема приобретает следующий вид: момент пары сил, эквивалентной системе пар сил в параллельных плоскостях, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Рис. 2.11. – Составление пар сил в пространстве

Вывод: в статике все механические взаимодействия описываются тремя типами векторов: скользящим вектором (силой), приложенным вектором (моментом относительно центра) и свободным вектором (парой сил).