Глава 12. Сферическое движение твердого тела

12.1. Уравнение сферического движения твердого тела

Сферическое – движение твердого тела, при котором только одна из его точек все время остается неподвижной. Траектории других точек размещаются на поверхностях сфер с центром в неподвижной точке.

Для определения сферического движения тела используют две системы координат: Оxyz – неподвижную с началом координат в точке О, Оξηζ – подвижную, неизменно связанной с вращающимся телом, и тоже имеющую начало в точке О (рис. 12.1). Линия углов – линия OJ пересечения неподвижной плоскости xОy с подвижной плоскостью ξОη.

Положение твердого тела однозначно определяется тремя углами Эйлера, названия которых взяты из небесной механики: (х^J) = ψ – угол прецессии; (z^ζ) = θ – угол нутации; (J^ξ) = φ – угол собственного вращения. Положительные направления углов показаны на рис. 12.1 стрелкой. Поскольку для описания движения достаточно трех углов, то такое тело имеет три степени свободы. При движении все углы Эйлера могут изменяться, поэтому однозначно описывают движение уравнения сферического движения твердого тела

ψ = f₁(t), θ = f₂(t), φ = f₃(t). (12.1)

Рис. 12.1. – Сферическое движение твердого тела

12.2. Угловая скорость твердого тела при сферическом движении

При изменении угла φ тело совершает собственное вращение вокруг оси ζ с угловой скоростью

При изменении угла ψ тело совершает вращение (прецессию) вокруг оси z с угловой скоростью

При изменении угла θ тело совершает вращение (нутацию) вокруг линии углов OJ с угловой скоростью

Векторы угловых скоростей направлены вдоль осей Оζ, Оz і OJ, поэтому тело участвует в трех мгновенных вращениях вокруг осей, пересекающихся в точке О. Согласно (11.2), абсолютное движение будет вращением вокруг оси, проходящей через точку В, с мгновенной угловой скоростью

ω₁ + ω₂ + ω₃. (12.2)

Модуль вектора мгновенной угловой скорости определяется по формуле

(12.3)

Проекции вектора угловой скорости на оси координат неподвижной системы находятся по формулам

(12.4)

Проекции вектора угловой скорости на оси координат подвижной системы находятся по формулам

(12.5)

Теорема Эйлера-Даламбера: твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через данную точку О (рис. 12.2). Эту ось называют мгновенной осью вращения твердого тела.

Мгновенная ось вращения ОΩ – геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю. Направление данной оси в пространстве и в самом теле непрерывно изменяется.

Вектор угловой скорости направлен от неподвижной точки О вдоль мгновенной оси так, чтобы глядя навстречу оси, видеть тело вращающимся против часовой стрелки.

Рис. 12.2. – Мгновенная ось вращения твердого тела

12.3. Угловое ускорение твердого тела при сферическом движении

Мгновенное угловое ускорение – векторная величина, характеризующая изменение во времени угловой скорости по модулю и направлению и равная первой производной от вектора угловой скорости

(12.6)

Рассматривая вектор ω как радиус-вектор точки А, можно найти угловое ускорение тела как скорость конца вектора угловой скорости при движении по его годографу

ε = и. (12.7)

Обозначим через ω₀ орт мгновенной оси Ω, тогда вектор углового ускорения определяется по формуле

П ервая составляющая углового ускорения в формуле (12.8) характеризует изменение угловой скорости по величине, а вторая – по направлению.

Направление ОЕ вектора углового ускорения ε совпадает с направлением касательной к траектории вектора и в соответствующей точке (рис. 12.3). Поэтому при сферическом движении направление вектора ε не совпадает с направлением вектора ω.

Рис. 12.3. – Определение направления углового ускорения

Существует и другой способ определения углового ускорения. Проекции углового ускорения на оси неподвижной системы координат можно получить дифференцированием по времени формул (12.4)

Модуль мгновенного углового ускорения в неподвижной системе координат определяется по теореме Пифагора

Проекции углового ускорения на оси подвижной системы координат можно получить дифференцированием по времени формул (12.5)

А модуль мгновенного углового ускорения

12.4. Скорости точек при сферическом движении

Поскольку при сферическом движении тело вращается вокруг мгновенной оси ОΩ, то зная его положение и угловую скорость тела, можно найти скорость любой точки М твердого тела по формуле Эйлера

υ = ω×r, (12.8)

где r – радиус-вектор, проведенный из неподвижного центра О к данной точке М (рис. 12.4).

Рис. 12.4. – Скорость точки при сферическом движении

Модуль скорости точки

υ = ωr∙sinγ = ωh_Ω, (12.9)

где h_Ω – расстояние до мгновенной оси вращения.

Распределение скоростей точек твердого тела при сферическом движении такое же, как и при вращении тела вокруг неподвижной оси. Проекции скорости точки на неподвижные и подвижные оси координат определяются по формуле Эйлера

υ_х = ω_yz – ω_zy, υ_y = ω_zx – ω_xz, υ_z = ω_xy – ω_yx.

υ_ξ = ω_ηζ – ω_ζη, υ_η = ω_ζξ – ω_ξζ, υ_ζ = ω_ξη – ω_ηξ. (12.10)

12.5. Ускорения точек при сферическом движении

Поскольку ускорение – это первая производная от скорости по времени, то абсолютное ускорение любой точки тела М при сферическом движении

(12.11)

Теорема Ривальса: ускорение точки твердого тела, осуществляет сферический движение, равна геометрической сумме вращательного и осестремительного ускорений

Вектор вращательного ускорения

направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор ε (рис. 12.5), а его модуль определяется по формуле

где h₁ – расстояние от точки М до вектора ε.

Вектор осестремительного ускорения

Направлен вдоль линии МС (рис. 12.5), его модуль определяется по формуле

Вращательная составляющая абсолютного ускорения а_вр может иметь любое направление, перпендикулярное вектору r, поскольку на направление вектора углового ускорения ε не наложено никаких ограничений. В этом есть отличие от случая вращения тела вокруг неподвижной оси, где центростремительное и касательное ускорение всегда взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рис. 12.5. – Ускорение точки при сферическом движении

Модуль ускорения точки определяется по формуле

Проекции ускорения точки на оси неподвижной системы координат

Проекции ускорения точки на оси подвижной системы координат