Глава 9. Сложное движение материальной точки

9.1. Общие определения сложного движения

Для исследования простейших видов движения твердого тела или точки достаточно одной системы координат (декартовой, полярной, цилиндрической или сферической). Но в ряде случаев для решения задач является удобным рассматривать движение точки или тела по отношению одновременно к двум системам координат, одна из которых неподвижна, а вторая движется определенным образом по отношению к первой.

Рассмотрим точку М, которая произвольно движется по отношению к системе отсчета Охуz. Эта система, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы отсчета О₁х₁у₁z₁ (рис. 9.1).

О тносительное движение – движение, которое осуществляет точка М по отношению к подвижной системы координат Охуz. Такое движение видит наблюдатель, перемещаясь вместе с этой системой. Скорость и ускорение точки М по отношению к системе отсчета Охуz будут относительной скоростью и относительным ускорением соответственно. При вычислении относительной скорости и ускорения движение осей Охуz во внимание не берут.

Рис. 9.1. – Сложное движение точки

Переносное движение – движение подвижной системы Охуz (или неизменно связанного с ней тела) относительно неподвижной системы отсчета О₁х₁у₁z₁. Тогда переносная скорость и ускорение – это скорость и ускорение произвольной точки М, неизменно связанной с подвижной системой Охуz, относительно неподвижной системы.

Абсолютное (сложное) движение – движение, совершаемое точкой М по отношению к неподвижной системе отсчета О₁х₁у₁z₁. Траектория CD этого движения будет абсолютной траекторией, скорость и ускорение точки М по отношению к неподвижной системе – это абсолютные скорость и ускорение.

Основная задача сложного движения точки: определение зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного, переносного и относительного движений.

9.2. Теорема о сложении скоростей

Пусть точка М при движении осуществила относительное перемещение вдоль траектории АВ, определяемое вектором ММ' (рис. 9.2). Кроме того, двигаясь вместе с подвижными осями, она перешла в новое положение А₁В₁. В результате точка получила абсолютное перемещение ММ₁.

Рис. 9.2. – Теорема о сложении скоростей

Теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей

υ = υ_от + υ_пер. (9.1)

Векторы относительной и переносной скоростей направлены по касательным к своим траекторий, а абсолютная скорость определяется по правилу параллелограмма. В аналитическом виде модуль абсолютной скорости определяется по формуле:

, (9.2)

где α – угол между векторами относительной и переносной скоростей.

9.3. Теорема о сложении ускорений (Кориолиса)

Для нахождения абсолютного ускорения точки при сложном движении дифференцируем уравнение (9.1)

. (9.3)

Относительное ускорение а_от характеризует изменение относительной скорости только при относительном движении. Движение осей Охуz, то есть переносное движение, при этом в расчет не берут.

Переносное ускорение а_пер характеризует изменение переносной скорости тела, неизменно связанного с подвижной системой отсчета Охуz, в процессе его переносного движения. Относительное движение при этом во внимание не берут.

Кориолисово (поворотное) ускорение – удвоенное векторное произведение переносной угловой скорости подвижной системы на относительную скорость точки

а_кор = 2(ω_пер×υ_от). (9.4)

Ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости точки при ее переносном движении и изменении переносной скорости точки при ее относительном движении.

Теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки при сложном движении, равное геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

9.4. Определение модуля и направления ускорения Кориолиса

Модуль кориолисова ускорения, согласно свойств векторного произведения, будет равняться

а_кор = 2|ω_пер|∙|υ_от|∙sinα, (9.5)

где α – угол между векторами ω_пер і υ_от.

Вектор кориолисова ускорения перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы ω и υ_от (рис. 9.3). Направление ускорения Кориолиса удобнее находить по правилу Жуковского: чтобы найти направление кориолисова ускорения, следует спроектировать относительную скорость точки υ_от на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и вернуть эту проекцию на 90° в направлении переносного в ращения.

Если относительная траектория – это плоская кривая, которая перемещается все время в своей плоскости, то угол α = 90°, и тогда модуль кориолисова ускорения

а_кор = 2|ω_пер|∙|υ_от|.

Рис. 9.3. – Определение направления а_кор по правилу Жуковского

В таком случае направление вектора кориолисова ускорения можно найти, повернув вектор относительной скорости на 90° в направлении переносного вращения.

Случаи, когда ускорение Кориолиса превращается в ноль:

1. Когда переносное движение подвижной системы координат Охуz является поступательным, то есть

ω_пер = 0.

2. Когда относительная скорость в данный момент обращается в нуль, то есть

υ_от = 0.

3. Когда относительное движение происходит в направлении, параллельном оси вращения переносного движения, то есть векторы ω_пер і υ_от коллинеарны

α = 0 або α =180°.

Во всех этих случаях абсолютное ускорение определяется по формуле:

Кориолисово ускорение характеризует изменение относительной скорости точки при переносном непоступательном движении и изменение модуля и направления переносной скорости при ее относительном движении.

Кориолисово ускорение получают все точки и тела, движущиеся по поверхности Земли, поскольку вращение Земли является для них переносным движением. Также кориолисово ускорение вызывает дополнительное движение частиц воды: к правому берегу в северном полушарии и к левому – в южном (закон Бэра). Поэтому в северном полушарии левый берег является крутым, а правый – пологим независимо от направления течения реки.

Кориолисовым ускорением также обусловлено преимущественное истирание правой рельсы железнодорожных путей в северном полушарии и левой – в южном. Но такое явление можно фиксировать только в двухпутных железных дорогах, где движение поездов по данному пути всегда в одном направлении. Преимущественное истирание рельс имеет место независимо от направления прокладки дороги.

Поскольку угловая скорость переносного движения (вращения Земли) невелика

то действие ускорения Кориолиса можно фиксировать или при больших относительных скоростях движения, или когда его действие имеет место в течение длительного времени.

В северном полушарии поворотное ускорение вызывает отклонение свободного падения тел к востоку. К примеру, при падении на широте 45° с высоты в 80 м тело отклонится на восток от вертикали примерно на 3 см.

Наличие поворотной силы, вызванной вращением Земли, приводит к тому, что сила тяжести тела и его вес отличаются именно на величину силы Кориолиса. Кроме того, возникает поворотная сила, вызванная вращением Земли вокруг Солнца, но она значительно меньше поворотной силы, вызванной суточным вращением, поэтому ее во внимание не берут.