Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях необходимо рассматривать движение точки как сложное?

2. В чем заключается основная задача сложного движения?

3. Как определяется абсолютная скорость точки при сложном движении?

4. Назовите физические причины возникновения кориолисова ускорения.

5. В каких случаях ускорение Кориолиса равна нулю?

Задание № 9. «Сложное движение материальной точки» Рекомендации к решению задач

А. Решение задач на теорему о сложении скоростей

1. Разложить движение на составляющие, определить абсолютное, переносное и относительное движения.

2. Выбрать две системы координат – абсолютную, которая считается условно неподвижной, и подвижную.

3. Мысленно остановить переносное движение и найти скорость относительного движения точки.

4. Не учитывая относительное движение, найти переносную скорость точки.

5. Определить абсолютную скорость точки с помощью теоремы (9.1).

Б. Решение задач на теорему о сложении ускорений

1. Разложить движение на составляющие, определить абсолютный, переносной и относительный движения.

2. Выбрать две системы координат – абсолютную, которая считается условно неподвижной, и подвижную.

3. Мысленно остановить переносное движение и найти скорость и ускорение относительного движения точки.

4. Не обращая внимания на относительное движение найти угловую скорость и ускорение переносного движения точки.

5. Определить ускорение Кориолиса по формуле (9.5).

6. С помощью метода проекций определить проекции абсолютного ускорения точки на координатные оси.

7. Определить абсолютную скорость точки и ее направление с помощью найденных проекций на координатные оси.

Пример решения задачи

Задача 1. Круглый цилиндр радиуса R = 30 см вращается вокруг вертикальной оси 0z с угловой скоростью, которая изменяется по закону

По винтовому пазу на поверхности цилиндра движется точка М, причем длина ее траектории ММ₀ изменяется по закону

Касательная к винтовой линии составляет угол γ = 30° с образующей цилиндра. Определить абсолютные скорость и ускорение точки в момент времени t = 5 с.

Решение

1. Определение модуля и направления абсолютной скорости

О пределим составляющие движения точки М в данной задаче. Переносным движением будет вращение точки вместе с цилиндром вокруг оси z с угловой скоростью ω. Для описания переносного движения выберем подвижную систему координат Ох₁y₁z. Переносная скорость при вращательном движении всегда направлена по касательной к траектории в сторону вращения и находится по формуле

Мысленно останавливаем переносное движение системы. Относительное движение –движение точки М по винтовом пазу условно неподвижного цилиндра. Относительную скорость определяем как первую производную от дуговой координаты

Относительная скорость направлена по касательной к винтовой линии (рис. 9.4).

Рис. 9.4. – К определению абсолютной скорости

Направление абсолютной скорости найдем по правилу параллелограмма, а ее модуль определим по формуле

где α = 90° - γ = 60° – угол между векторами относительной и переносной скорости.

2. Определение модуля и направления абсолютного ускорения.

Определим модуль углового ускорения переносного движения точки М (вращение вокруг оси z) в заданный момент времени

При неравномерном вращении материальной точки вокруг неподвижной оси ее ускорение имеет две составляющие – касательную и нормальную

Касательная составляющая переносного ускорения характеризует изменение переносной скорости по величине, она направлена по касательной к круговому сечению цилиндра, а ее модуль определяется по формуле

Нормальная составляющая переносного ускорения характеризует изменение переносной скорости по направлению, она направлена по радиусу к центру цилиндра, а ее модуль определяется по формуле

Относительное ускорение материальной точки также имеет две составляющих – касательную и нормальную

К асательная составляющая относительного ускорения характеризует изменение величины относительной скорости точки при движении по винтовому пазу, она направлена по касательной к винтовой линии, а ее модуль определяется по формуле

Нормальная составляющая относительного ускорения характеризует изменение относительной скорости по направлению, она направлена по радиусу к центру цилиндра, а ее модуль определяется по формуле

где ρ – радиус кривизны винтовой линии, определяемый по формуле

Рис. 9.5. – К определению абсолютного ускорения

Поскольку векторы переносной угловой скорости и относительной скорости не параллельны, а образуют угол γ, то будет иметь место кориолисово ускорение, модуль которого определяется по формуле (9.7)

Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо спроектировать вектор относительной скорости на горизонтальную плоскость, после чего повернуть на 90° против часовой стрелки. Ускорение Кориолиса будет направлено по радиусу цилиндра в том же направлении, что и два нормальных ускорения. По теореме Кориолиса о сложении ускорений имеем

.

Для нахождения модуля абсолютного ускорения спроектируем все составляющие ускорений на оси системы координат Ох₁y₁z:

Модуль абсолютного ускорения находим по теореме Пифагора

Задача решена.