Глава 10. Плоскопаралельное движение твердого тела

10.1. Уравнение плоскопараллельного движения

Плоскопараллельное (плоское) движение – движение твердого тела, при котором все его точки движутся параллельно некоторой фиксированной плоскости Оху. Плоское движение совершают многие части машин (шатун в кривошипно-шатунный механизм, колесо на прямолинейном участке и т.д.). Вращения твердого тела является частным случаем плоскопараллельного движения.

Для изучения движения всего тела достаточно рассмотреть движение плоского сечения S, параллельного фиксированной плоскости Оху. Положение всей фигуры S определяется положением проведенного на ней отрезке АВ (рис. 10.1). Положение самого отрезке можно определить, зная координаты х_А и у_А точки А и угол φ, образованный отрезком с осью Ох. Точку А, выбранную для определения положения отрезка, называют полюсом.

Рис. 10.1. – Плоскопараллельное движение тело

При движении тела координаты точки А и угол φ меняются, поэтому уравнения плоскопараллельного движения имеет вид

х_А = f(t), у_А = f(t), φ = f(t). (10.1)

Первые два уравнения описывают поступательное движение точки А (φ = const), а третье – вращения твердого тела вокруг неподвижного полюса А (х_А и у_А = const).

Вывод: плоскопараллельное движение произвольной точки М можно рассматривать как два одновременных движения: поступательное со скоростью полюса А и вращательное вокруг этого полюса.

Кинематическими характеристиками плоского движения являются скорость υ_A и ускорения a_A поступательного движения полюса, а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε вращательного движения тела вокруг полюса. При изучении движения за полюс можно принимать любую точку фигуры, поскольку вращающаяся часть движения от выбора полюса не зависит.

10.2. Скорость точек тела при плоскопараллельном движении

Положение любой точки М фигуры определяется радиус-вектором r

r = r_A + r´,

где r_A – радиус-вектор полюса А, r´ - вектор, определяющий положение точки М в подвижной системе координат Ох´у´, неизменно связанный полюсом А (рис. 10.2).

Рис. 10.2. – Скорость при плоском движении

Тогда скорость точки М

→ υ_М = υ_А + υ_МА. (10.2)

Вывод: скорость любой точки М плоской фигуры равна геометрической сумме скорости υ_А поступательного движения полюса А и скорости υ_МА, которую получает точка М при вращении всей фигуры вокруг этого полюса.

Скорость, которую получает точка М при вращении фигуры

(10.3)

где ω – угловая скорость вращения фигуры вокруг полюса А, перпендикулярная радиус-вектору r. Модуль и направление скорости υ_М находятся по правилу параллелограмма (рис. 10.2).

Теорема о скоростях двух точек: при плоскопараллельном движении проекции скоростей любых двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Доказательство

Пусть А и В – произвольные точки плоской фигуры, осуществляющей плоскопараллельное движение (рис. 10.3). Примем точку А за полюс, тогда скорость точки В

υ_В = υ_А + υ_ВА. (10.4)

Проектируем это выражение на прямую АВ (вектор скорости υ_ВА перпендикулярно прямой АВ, поэтому его проекция равна нулю). Окончательно получаем:

Е сли бы теорема не выполнялась, то расстояние между точками А и В в процессе движения изменялось, что невозможно для абсолютно твердого тела. Поэтому теорема справедлива для любого движения твердого тела.

Рис. 10.3. – Теорема о скоростях двух точек

10.3. Мгновенный центр скоростей, его нахождение

Мгновенный центр скоростей – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Эта точка находится на пересечении мгновенной оси вращения с плоскостью движения. Если фигура движется непоступательно, то такая точка существует, притом единственная.

Отдельные случаи определения мгновенного центра скоростей:

а) Качение одного цилиндрического тела по поверхности другого (рис. 10.4, слева). В данном случае мгновенным центром скоростей является точка Р контакта катящегося тела и неподвижной поверхности. При отсутствии скольжения ее скорость равна нулю.

б) Если скорости точек А и В параллельны (рис. 10.4, справа), а линия АВ не перпендикулярна направлению этих скоростей, то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности. Скорости всех точек тела одинаковы по величине и направлению, значит имеет место случай мгновенного поступательного движения.

в ) Если скорости точек А и В параллельны, а линия АВ перпендикулярна направлению этих скоростей, то положение мгновенного центра скоростей определяется построением, как показано на рис. 10.4.

Рис. 10.4. – Определение мгновенного центра скоростей

Вывод: для определения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей любых двух точек плоской фигуры.

Если известно положение мгновенного центра скоростей, то удобно принять его за полюс при определении скоростей других точек. Находим скорость точки А (рис. 10.5)

υ_А = υ_Р + υ_РА = υ_РА, (10.5)

п оскольку скорость полюса равна нулю. Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Поэтому, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент так, если бы движение фигуры был вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Рис. 10.5. – Определение скоростей точек при помощи мгновенного центра скоростей

Выводы:

а) для определения скорости любой точки плоской фигуры необходимо знать модуль и направление скорости одной точки и направление скорости другой точки.

б) угловая скорость плоской фигуры в любой момент времени равна отношению скорости точки к ее расстоянию до мгновенного центра скоростей.

в) в механизме из нескольких звеньев, движущихся непоступательно, каждое звено в данный момент времени имеет свой мгновенный центр скоростей и свою угловую скорость.

10.4. Определение ускорений точек тела при плоскопараллельном движении

Теорема: ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически состоит из ускорения полюса А и ускорения, которое получает точка М при вращении вокруг этого полюса

(10.6)

Ускорение точки тела при вращательном движении является геометрической суммой нормального и касательного ускорений (рис. 10.6)

а_М = а_А + а^τ_МА + а^п_МА.

Касательное и нормальное ускорение определяются по формулам

а^τ_МА = МА∙ε, а^п_МА = МА∙ω².

Модуль и направление ускорения а_МА определяют по теореме Пифагора

(10.7)

Если полюс А движется непрямолинейно, то его ускорение тоже можно представить как сумму касательной и нормальной составляющих

а_М = а^τ_А + а^п_А+ а^τ_МА + а^п_МА. (10.8)

Рис. 10.6. – Определение ускорений точек при плоскопараллельном движении

10.5. Мгновенный центр скоростей, его нахождение

Мгновенный центр ускорений – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю. Если фигура движется непоступательно, то такая точка существует, причем только одна. В общем случае движения мгновенные центры скоростей и ускорений не совпадают. Они совпадают только тогда, когда фигура вращается вокруг неподвижной оси.

Порядок нахождения мгновенного центра ускорений:

1. Определить угол μ по формуле

(10.9)

2. Из точки А под углом μ к вектору ускорения а_А провести прямую АЕ, которая отклонена в сторону вращения фигуры в случае ускоренного вращения, и в противоположную сторону – при замедленном вращении (т.е. в сторону углового ускорения).

3. Отложить вдоль линии АЕ отрезок АQ, равный

Ускорение точек плоской фигуры определяются в данный момент так, чтобы движение фигуры было вращения вокруг мгновенного центра ускорений Q

Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений Q.