Глава 11. Сложное движение твердого тела

11.1. Сложение поступательных движений

Твердое тело, как и материальная точка, может одновременно участвовать в нескольких простых движениях, поэтому главной задачей кинематики сложного движения является нахождение в каждый момент времени зависимостей между линейными и угловыми скоростями. На твердое тело также переносятся понятия об абсолютном, переносном и относительном движении точки.

Теорема. При сложении поступательных движений твердого тела образуется результирующее поступательное движение со скоростью, равной векторной сумме скоростей составляющих движений

υ = υ_от + υ_пер. (11.1)

В этом случае задача сводится к сложному движению материальной точки.

При сложении произвольного количества поступательных движений результирующее движение также будет поступательным, тогда скорость и ускорение тела

Мгновенно-поступательное – движение, при котором скорости всех точек тела равны между собой только в определенный промежуток времени. При таком движении ускорения точек разные, поэтому их нельзя суммировать по приведенной выше формуле.

11.2. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

А) Сложение угловых скоростей

Теорема. При сложении двух мгновенных вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей образуется результирующее вращения вокруг мгновенной оси с угловой скоростью, равной векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.

П усть относительное движение тела является вращением вокруг оси А₁А с угловой скоростью ω₁, а переносное движение – тоже вращением со скоростью ω₂ вокруг оси b₁b, которая пересекается с осью А₁А в точке О (рис. 11.1). Определим абсолютную скорость какой-либо произвольной точки М. Скорость точки М при относительном движении и переносном движениях

υ_от = ω₁×r, υ_пер = ω₂×r.

Но поскольку результирующее движение – вращение с некоторой угловой скоростью ω, то

υ = ω×r → ω = ω₁ + ω₂.

Рис. 11.1. – Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Если тело участвует в п мгновенных вращения вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то абсолютное движение будет вращением вокруг оси, проходящей через точку В, с мгновенной угловой скоростью

(11.2)

Б) Сложение угловых ускорений

П усть вращение тела вокруг каждой из двух пересекающихся осей происходит с угловым ускорением, причем ε₁ – переносное ускорение вращения вокруг собственной оси ОА, ε₂ – относительное ускорение вращательного движения вокруг оси неподвижного колеса (рис. 11.2). Согласно (11.2) абсолютно угловая скорость ω подвижной шестерни

Рис. 11.2. Сложение ускорений при вращении вокруг пересекающихся осей

Дифференцируем по времени последнее соотношение и получаем формулу для составления угловых ускорений

(11.3)

где ε₁ – изменение переносной угловой скорости при переносном движении, ε₂ – изменение относительной угловой скорости при относительном движении, третье слагаемое характеризует изменение переносной угловой скорости при относительном движении и изменении относительной угловой скорости при переносном движении.

В технике сложения вращений вокруг пересекающихся осей имеет широкое применение: конические передачи в редукторах, карданная передача (шарнир Гука) в тракторах и автомобилях, манипуляционных работах, внешний карданный подвес в гироскопических приборах.

11.3. Пара вращений

Пара вращений – совокупность двух вращений твердого тела вокруг параллельных осей с разными по величине, но противоположными по направлению угловыми скоростями.

Теорема. Пара вращений эквивалентна мгновенно-поступательному движению со скоростью, равной момента пары угловых скоростей.

Пусть переносным движением тела является вращение с угловой скоростью ω₁ вокруг оси ОО₁, а относительным движением – вращение со скоростью ω₂ = - ω₁ вокруг оси ОО₂. В таком случае абсолютная скорость произвольной точки М по теореме о сложении скоростей

Поскольку расстояние между осями вращения

то абсолютная скорость точки М

Поскольку векторы ω₁ и О₁О₂ не зависят от положения точки М, то абсолютное движение будет мгновенно-поступательным.

Момент пары вращений – векторное произведение ω₁× О₁О₂, которое является свободным вектором, поскольку не зависит от выбора точки М. Совокупность п пар вращений эквивалентна одной паре, то есть мгновенно-поступательному движению.

Теорема. Не изменяя движения твердого тела, вектор угловой скорости его вращения можно перенести параллельно самому себе в любую точку тела, присоединяя при этом соответствующий момент пары вращений.

Примером пары вращений служат педали велосипеда, также она встречается при движении клещей манипуляционного работа.

11.4. Сложение вращений вокруг параллельных осей

Пусть относительное движение тела является вращением вокруг оси аа' с угловой скоростью ω₁, а переносное движение – тоже вращением со скоростью ω₂ вокруг оси bb', причем угловые скорости не образуют пару вращений.

Рис. 11.3. – Сложение вращений одного направления

Рассмотрим два отдельных случаях:

А) Вращения ориентированы в одну сторону

Скорости точек А и В параллельны друг другу, направлены в противоположные стороны и определяются по формулам:

υ_А = ω₂ ∙ АВ, υ_В = ω₁ ∙ АВ.

Ось сс′ является мгновенной осью вращения, а С – мгновенным центром скоростей, поэтому

Подставив первое уравнение во второе, получаем

(11.4)

Теорема: если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях, то его абсолютное движение будет вращением вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорцией. Угловая скорость равна алгебраической сумме угловых скоростей переносного и относительного движений.

Б) Вращения направлены в разные стороны

В таком случае скорости точек А и В параллельны друг другу (рис. 11.4), имеют одинаковые направления и определяются по формулам:

υ_А = ω₂ ∙ АВ, υ_В = ω₁ ∙ АВ.

Ось сс′ является мгновенной осью вращения, а точка С – мгновенным центром скоростей, поэтому

Рис. 11.4. Сложение вращений, направленных в разные стороны

Подставляя первое уравнение во второе, получаем

(11.5)

Теорема: если тело участвует одновременно в двух направленных в противоположные стороны вращениях, то его абсолютное движение будет вращением вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорцией. Угловая скорость абсолютного движения равна разности угловых скоростей переносного и относительного движений.

11.5. Метод остановки

Используется в задачах движения планетарных механизмов внешнего и внутреннего зацеплений, то есть когда происходит сложение вращений вокруг параллельных или пересекающихся осей.

Планетарный (эпицикличный) механизм – зацепления двух или нескольких колес, из которых одно колесо неподвижное или движется вокруг неподвижной оси, а другие вращаются вокруг осей, закрепленных на подвижном водиле. На рис. 11.5 показана схема планетарного механизма с недвижимым колесом ІІ, водилом ОВ и подвижными колесами II и III, оси которых перемещаются в пространстве. Колесо ІІ называют солнечным, а колеса II и III – сателлитами.

Рис. 11.5. – Планетарный механизм

Задаем мнимое вращение плоскости рисунка по часовой стрелке с угловой скоростью ω_ОВ. Тогда колеса II и III, до этого осуществлявшие сложное движение вокруг двух параллельных осей, будут вращаться вокруг неподвижных осей А и В.

Для удобства составляем табл. 11.1 угловых скоростей всех звеньев механизма до и после остановки ведущего звена. Для механизма на рис. 11.5 такая таблица имеет следующий вид.

Таблица 11.1

Звенья механизма	ОВ	І	ІІ	ІІІ
До остановки	ωОВ	0	ω2	ω3
После остановки	0	- ωОВ	ω2 - ωОВ	ω3 - ωОВ

После построения таблицы находят зависимости между угловыми скоростями каждых двух соседних колес после остановки. При этом следует помнить, что в случае внешнего зацепления отношение угловых скоростей отрицательное, а в случае внутреннего – положительное.

Отношение угловых скоростей после остановки для колес І и ІІ

(11.6)

Аналогично для колес ІІ і ІІІ имеем

(11.7)

Из полученных отношений определяют искомые абсолютные угловые скорости ω₂ и ω₃. Формулы вида (11.6) и (11.7) называются формулами Виллиса, они широко применяются в ТММ при расчете многих механизмов.