2.4.3. Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели

По своей природе характеристики объекта могут быть как качественными, так и количественными. Введение тех или иных количественных характеристик объекта моделирования возможно при наличии эталона сравнения. Например, для характеристики размеров тела используется эталонный образец - метр. Для количественной характеристики вводятся числа, выражающие отношения между данным параметром и эталоном. Кроме того, количественные значения параметра могут выражаться дискретными или непрерывными величинами. Качественные характеристики находятся, например методом экспертных оценок. В зависимости от вида используемых множеств параметров модели могут подразделяться на качественные и количественные, дискретные и непрерывные, а также смешанные.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, ограниченностью числа используемых параметров модели, конечной точностью экспериментальных измерений. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенности параметров:

1. детерминированное - значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому пара метру соответствует конкретное целое, вещественное или комплексное число либо соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров;

2. стохастическое - значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин;

3. случайное – значения всех или отдельных параметров моде ли устанавливаются случайными величинами, заданными оценка ми плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Эта форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в рассматриваемом случае получаемые результаты моделирования будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения и объема выборок;

4. интервальное - значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра;

5. нечеткое – значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему не четкому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а следовательно, в «нечетких» (с позиции математики) терминах типа «много больше пяти», «около нуля».

В теории игр встречается еще один вид неопределенности параметров модели, называемый игровой неопределенностью. В данном пособии указанный вид неопределенности не рассматривается.

Разделение моделей на одномерные, двухмерные и трехмерные применимо для таких моделей, в число параметров которых входят координаты пространства, и связано с особенностями реализации этих моделей, равно как и с резким увеличением их сложности при возрастании размерности (с «проклятием размерности» по образному выражению Р. Беллмана). Как правило, увеличение размерности модели приводит к росту числа используемых математических соотношений. Особенно сложны в реализации трехмерные модели, требующие высокопроизводительной вычислительной техники с большим объемом оперативной и дисковой памяти. Реализация таких моделей стала возможной лишь с появлением вычислительных машин третьего поколения и потребовала создания специальных вычислительных методов и приемов.

Как правило, эффективная реализация трехмерных моделей возможна лишь на многопроцессорных вычислительных комплексах с использованием языков параллельных вычислений. Среди характерных вычислительных трудностей, с которыми сталкиваются при создании моделей в трехмерной постановке, можно отметить необходимость хранения и решения систем уравнений большой размерности (10 тысяч уравнений и более), проблемы подготовки исходной информации и ее проверки, наглядное отображение полученных результатов. При разработке модели стараются (если это возможно) понизить размерность. Однако необоснованное понижение размерности модели может существенно исказить результаты моделирования. Например, если для исследования движения брошенного мяча в вертикальной плоскости использование двухмерной модели может быть оправдано, то для исследования движения бумеранга такую модель строить бесполезно.

Из всей совокупности параметров при разработке различных моделей отдельно следует рассмотреть учет времени. Как и координаты, время относится к независимым переменным, от которых могут зависеть остальные параметры модели. В различных ситуациях объект исследования может по разному испытывать влияние времени. Обычно чем меньше масштаб объекта, тем существеннее зависимость его параметров от времени. Если сравнивать скорости изменения различных объектов по отношению к масштабам, характерным для Земли, то можно отметить, что для галактик время заметных изменений измеряется миллионами лет, а для элементарных частиц – миллионными долями секунды. Учитывая, что весь окружающий нас материальный мир состоит из постоянно изменяющихся и взаимодействующих элементарных частиц и полей, то все без исключения объекты исследования следует считать изменяющимися во времени.

Любой объект стремится перейти в некоторое равновесное состояние как с окружающей его средой, так и между отдельными элментами самого объекта. Нарушение этого равновесия приводит к изменениям различных параметров объекта и его переходу в новое равновесное состояние.

При построении модели важным является сравнение времени существенных изменений внешних воздействий и характерных времен перехода объекта в новое равновесное состояние с окружающей средой, а также времени релаксации, определяющего установление равновесия между отдельными элементами внутри объекта. Если скорости изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации, то явной зависимостью от времени в модели можно пренебречь. В этом случае говорят о квазистатическом процессе.

Например, если скорость появления микротрещин в элементах конструкции моста, связанная с сезонными колебаниями температуры и переменностью нагрузок, невелика, то расчет его максимальной несущей способности можно проводить в рамках статической модели. Срок службы моста в этом случае можно определить с помощью квазистатической модели, использующей зависимость прочностных свойств материала моста от суммарного числа циклов нагружения до разрушения.

Совокупность значений параметров модели в некоторый момент времени или на данной стадии называется состоянием объекта.

Если скорости изменения внешних воздействий и параметров состояния изучаемого объекта достаточно велики (по сравнению со скоростями релаксации), то учет времени необходим. В этом случае объект исследования рассматривают в рамках динамического процесса.

Условие движения отдельных элементов исследуемого объекта не является обязательным условием включения времени в число параметров модели. Для примера рассмотрим течение жидкости в длинной трубе постоянного сечения. Эксперименты показывают, что на достаточно большом удалении от входа в трубу частицы жидкости движутся параллельно оси трубы.

При этом если условия на входе не изменяются и скорость течения невелика (ламинарный режим течения), то профиль скоростей частиц в данном сечении трубы с течением времени остается неизменным. В этом случае в каждой фиксированной точке исследуемого пространства значения параметров модели не зависят от времени.

Подобные процессы называют стационарными. Как правило, стационарные модели применяются для описания различных потоков (жидкости, газа, тепла) в случае постоянства условий на входе и выходе потока. Для таких процессов время может быть исключено из числа независимых переменных.

Если в качестве одной из существенных независимых переменных модели необходимо использовать время (или его аналог), то модель называется нестационарной. Примером нестационарной модели является модель движения жидкости в трубе, но вытекающей

Заметим, что для значительной части реальных процессов стационарные режимы являются наиболее предпочтительным. После их определения (с применением той или иной математической модели) проверяется устойчивость стационарного режим (решения), что во многих случаях требует постановки и решения нестационарной задачи для возмущений стационарного решения. В ряде случаев, когда определение стационарных режимов из аналитического решения или некоторых эвристических соображений затруднено, их поиск осуществляется методом установления соответствующей нестационарной задачи (т.е. ищется решение нестационарной задачи, асимптотически стремящееся к стационарному). Следует отметить, что этим методом довольно часто пользуются при решении стационарных задач численными методами, поскольку методы решения нестационарных задач часто оказываются существенно эффективнее, чем стационарных.