7.4. Математические модели исследования операций

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется какая-то математическая модель. При построении математической модели реальное явление (в нашем случае – операция) всегда упрощается, схематизируется, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. Чем удачнее будет подобрана математическая модель, тем лучше она будет отражать характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее – вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования, с учетом требуемой точности решения и точности, с которой нам могут быть известны исходные данные. Если исходные данные известны неточно, то, очевидно, нет смысла строить очень подробную, тонкую и точную модель явления и тратить время (свое и машинное) на тонкую и точную оптимизацию решения. К сожалению, этим принципом на практике часто пренебрегают и выбирают для описания явлений чрезмерно подробные модели.

Модель должна отражать важнейшие черты явления, т. е. в ней должны быть учтены все существенные факторы, от которых в наибольшей степени зависит успех операции. Вместе с тем модель должна быть по возможности простой, не «засоренной» массой мелких, второстепенных факторов, так как учет их усложняет математический анализ и делает трудно обозримыми результаты исследования. Одним словом, искусство доставлять математические модели есть именно искусство, и опыт в этом деле приобретается постепенно. Две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая – утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая–слишком огрубить явление («выплеснуть вместе с водой и ребенка»). Поэтому при решении задач исследования операций всегда полезно сличать между собой результаты, полученные по различным моделям, устраивать как бы «спор моделей». Одну и ту же задачу решают не один раз, а несколько, пользуясь разными системами допущений, разным аппаратом, разными моделями. Если научные выводы от модели к модели меняются мало, это – серьезный аргумент в пользу объективности исследования. Если они существенно расходятся, надо пересмотреть концепции, положенные в основу различных моделей, посмотреть, какая из них наиболее адекватна действительности. Характерным для исследования операций является также повторное обращение к модели (после того, как исследование в первом приближении уже выполнено) для внесения в эту модель необходимых коррективов.

Построение математической модели – наиболее важная и ответственная часть исследования, требующая глубоких знаний не только и не столько математики, сколько существа моделируемых явлений. Как правило, «чистые» математики без помощи специалистов в данной области с этой задачей справляются плохо. В центре внимания у них оказывается математический аппарат с его тонкостями, а не соответствие модели реальному явлению. Опыт показывает, что самые удачные модели создаются специалистами в данной области практики, получившими в дополнение к основной глубокую математическую подготовку, или же группами, объединяющими специалистов и математиков.

Математическая подготовка специалиста, желающего заниматься исследованием операций в своей области практики, должна быть достаточно широка. Наряду с классическими методами анализа она должна включать ряд современных разделов математики, таких, как методы оптимизации, в том числе линейное, нелинейное, динамическое программирование, методы машинного поиска экстремумов и т. д. Особенно следует подчеркнуть обязательное наличие сведений по теории вероятностей, причем не формальных, а действенных. Особые требования к вероятностной подготовке связаны с тем, что большинство операций проводится в условиях неполной определенности, их ход и исход зависят от случайных факторов – таких, как метеорологические условия, колебания спроса и предложения, отказы технических устройств и т. д. Поэтому для творческой работы в области исследования операций требуется хорошее владение теорией вероятностей, включая ее новейшие разделы: теорию случайных процессов, теорию информации, теорию игр и статистических решений, теорию массового обслуживания.

При построении математической модели может быть (в зависимости от вида операции и задач исследования) использован математический аппарат различной сложности. В самых простых случаях модель описывается простыми алгебраическими уравнениями. В более сложных, когда требуется рассмотреть явление в динамике, применяется аппарат дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и с частными производными. В наиболее сложных случаях, если развитие операции во времени зависит от большого числа сложно переплетающихся между собой случайных факторов, применяется метод статистического моделирования. В первом приближении идею метода можно описать так: процесс развития операции как бы «копируется», воспроизводится на машине (ЭВМ) со всеми сопровождающими его случайностями. Таким образом строится один экземпляр (одна реализация) случайного процесса (операции), со случайным ходом и исходом. Сама по себе одна такая реализация не дает оснований к выбору решения, но, получив множество таких реализаций, мы обрабатываем их как обычный статистический материал (откуда и термин «статистическое моделирование»), выводим средние характеристики по множеству реализаций и получаем представление о том, как в среднем влияют условия задачи и элементы решения на ход и исход операции.

При исследовании операций, на ход которых влияют случайные факторы, так называемых «стохастических задач исследования операций», применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов моделей имеет свои преимущества и свои недостатки. Аналитические модели по сравнению со статистическими более грубы, учитывают меньшее число факторов, неизбежно требуют каких-то допущений и упрощений. Эти модели могут описывать явление только приближенно, схематически, но зато результаты такого моделирования более наглядны и отчетливее отражают присущие явлению закономерности. А главное, аналитические модели более приспособлены для поиска оптимальных решений, который тоже может быть осуществлен аналитическими методами, с применением всех средств современной математики.

Статистические модели, по сравнению с аналитическими, более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории – неограниченно большое) число факторов. Казалось бы, они ближе к действительности и должны быть предпочтительными. Однако и у них есть свои недостатки: сравнительная громоздкость, большой расход машинного времени; плохая обозримость полученных результатов и трудность их осмысления. А главное, крайняя затрудненность нахождения оптимальных решений, которые при статистическом моделировании приходится искать «на ощупь», путем догадок и проб.

Молодые специалисты, чей опыт в исследовании операций ограничен, имея в своем распоряжении современные вычислительные машины, часто без особой нужды начинают исследование с построения его статистической модели, стараясь учесть в этой модели огромное число факторов (чем больше, тем лучше). В результате многие такие модели остаются «мертворожденными», так как для них не разработана методика применения и осмысления результатов, перевода их в ранг рекомендаций.

Наилучшие результаты получаются при совместном применении аналитических и статистических моделей. Простая аналитическая модель позволяет разобраться в основных закономерностях явления, наметить как бы его «контур», в первом приближении указать разумное решение. После этого любое уточнение может быть получено статистическим моделированием. Если результаты статистического моделирования не слишком расходятся с результатами аналитического, это дает нам основание не только в данном случае, но и во многих сходных с уверенностью применять аналитическую модель. Если же статистическая модель дает по сравнению с аналитической существенно другие результаты, может быть разработана система поправок к аналитическому решению типа «эмпирических формул», широко применяемых в технике.

При оптимизации решений также может оказаться весьма полезной предварительная их оптимизация на аналитической модели. Это позволит при пользовании более точной статистической моделью искать оптимальное решение не совсем наугад, а в ограниченной области, содержащей решения, близкие к оптимальным в аналитической модели. Учитывая, что на практике нас редко интересует одно-единственное, в точности оптимальное решение, чаще требуется указать область, в которой оно лежит, аналитические способы оптимизации, проверенные и подкрепленные статистическим моделированием, могут быть ценным орудием выработки рекомендаций.

Построение математической модели операции важно не само по себе, а имеет целью выявление оптимальных решений. Желательно выбрать такое решение, которое обеспечивает операции максимальную эффективность. Под «эффективностью» операции разумеется мера ее успешности, степень ее приспособленности к достижению поставленной перед нею цели.

Для того чтобы сравнивать между собой по эффективности различные решения, необходимо располагать каким-то количественным критерием, показателем эффективности (его часто называют целевой функцией»). Этот показатель выбирается так, чтобы он наилучшим образом отражал целевую направленность операции. Чтобы выбрать показатель эффективности, нужно прежде всего спросить себя: чего мы хотим, к чему стремимся, предпринимая операцию? Выбирая решение, мы предпочтем такое, которое обращает показатель эффективности в максимум (или же в минимум).

Очень часто в качестве показателя эффективности фигурируют затраты на выполнение операции, которые, естественно, нужно минимизировать. Например, если операция преследует цель изменить технологию производства так, чтобы по возможности снизить себестоимость продукции, то в качестве показателя эффективности естественно будет взять среднюю себестоимость и предпочесть то решение, которое обратит этот показатель в минимум.

В некоторых случаях бывает, что операция преследует вполне определенную цель, которая только и может быть достигнута или не достигнута (никакие промежуточные результаты нас не интересуют). Тогда в качестве показателя эффективности выбирается вероятность достижения этой цели. Например, если ведется стрельба по какому-то объекту с непременным условием уничтожить его, показателем эффективности будет вероятность уничтожения объекта.

Неправильный выбор показателя эффективности очень опасен, так как он может привести к неверным рекомендациям. Операции, организованные под углом зрения неудачно выбранного показателя, могут привести к большим неоправданным затратам и потерям (вспомним хотя бы пресловутый «вал» в качестве основного критерия хозяйственной деятельности предприятий).

Надо заметить, что в реальных задачах исследования операций выбор показателя эффективности далеко не прост и очевиден.