5.2. Поля, сплошные среды и уравнения математической физики. Линейные уравнения и принцип суперпозиции

Ранее мы говорили о линейной функции. Более богатые модели дают нам уравнения математической физики, которые также могут быть линейными или нелинейными. Можно сказать, что математическая физика – это наука, изучающая математические модели физических явлений. Уравнения математической физики – это чаще всего дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие процессы в пространстве и времени. Таким образом, искомые функции должны иметь не менее двух аргументов; дифференциальные уравнения для функции одного аргумента относятся к классу обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае мы рассматриваем процесс в области (возможно, неограниченной) трехмерного евклидова пространства, т.е. на такой области определено физическое поле, которое изменяется со временем. Одно из первых уравнений этого типа появилось благодаря Пьеру Симону Лапласу.

Лаплас с недоверием относился к закону Всемирного тяготения Ньютона: как планеты, находясь на колоссальных дистанциях, могут действовать друг на друга? Лапласу казалась реальнее концепция контактной передачи усилия (короткодействие) от одной планеты к другой, посредством эфира. Введя в рассмотрение эту субстанцию, поле, заполняющую трехмерное пространство, он получил для нее уравнение, которое сейчас называют уравнением Лапласа. Концепция эфира не подтвердилась, но оказалось, что это уравнение описывает многие стационарные процессы в сплошных средах: равновесие линейно-упругого тела, потенциальное течение вязкой жидкости, стационарные распределения электрического и температурного полей в теле и т.д.

Скажем несколько слов о модели сплошной среды. Обычно рассматриваемые нами поля определены в области геометрического пространства. Поле при этом оказывается как бы внешним, удобным для наблюдения и непрерывно заполняющим область математическим объектом. Механики имеют дело с полем материала, вложенного в это пространство, причем на этом материале обычно рассматриваются и другие поля (например, температурное). Физики работают, например, с электромагнитным или гравитационным полями, для которых «механический носитель» не требуется. Необходимо различать внешнее пространство и поле, поскольку последнее изменяется во времени (движется, течет, деформируется) относительно внешнего пространства, с которым (будем считать) жестко связана система отсчета наблюдателя. Оказывается, что реальные материальные среды вовсе не непрерывно заполняют пространство: при рассмотрении их вблизи они оказываются разрывными, состоящими из расположенных в пространстве зерен, гранул, молекул, атомов. Следовательно, и измеряемые на них физические поля с точки зрения внешнего геометрического континуума также не могут считаться непрерывными. Какую бы среду и на каких бы масштабах мы не рассматривали, объем, в котором сосредоточено собственно само вещество, оказывается много меньше объема тела. Но, несмотря на то, что все тела «состоят из пустоты», в практически малых объемах всегда оказывается огромное число частиц. Поэтому мы можем «размазать материю», т.е. полагать материальную среду и поле на ней непрерывными на масштабах, много больших по сравнению с характерными масштабами строения среды и осцилляции поля на ней. Применяя аппарат обычного дифференциального исчисления, мы должны осознавать, что работаем с уже осредненными полями (конечно, осредненное поле далеко не всегда полностью характеризует нам исходное поле). В механике модель сплошной среды применяют к газам, жидкостям и твердым телам.