6.2. Вопросы для самопроверки

Каким образом соотносятся между собой реальное, системное и модельное время?

Может ли системное время быть не равно реальному времени? Почему?

В каких случаях обосновано применение имитаторов?

В чем принципиальные отличия аналитических моделей и имитаторов?

В чем схожесть реального и вычислительного с использованием имитатора экспериментов?

В чем достоинства и недостатки моделирования системного времени с постоянным и переменным шагами?

Назовите отличия технологии создания имитаторов от аналитических моделей.

Почему имитаторы можно отнести к разновидности математических моделей?

7. Математические модели исследования операций

Наука «Исследование операций», элементы которой предлагаются вниманию студента, принадлежит к числу новых, сравнительно недавно сформировавшихся дисциплин, ее границы и содержание нельзя считать четко определенными. Предмет под названием «Исследование операций» входит в программу многих высших учебных заведений, однако далеко не везде в это понятие вкладывается одно и то же содержание. Некоторые даже склонны отрицать существование такой науки, считая ее одной из составных частей кибернетики. Другие, напротив, вкладывают в понятие «исследование операций» чрезмерно широкое содержание, провозглашая эту дисциплину чуть ли не «наукой наук». Время покажет, в каких формах будет продолжать свое существование эта сравнительно молодая наука, какие разделы, обычно излагаемые в ее составе, сохранятся в ней, а какие «отпочкуются» в виде новых самостоятельных научных дисциплин. Во всяком случае, несомненным остается тот факт, что в самых разных областях практики – таких, как организация производства, боевые действия и вооружение, эксплуатация транспорта, бытовое обслуживание, здравоохранение, связь, вычислительная техника и т. д., – сегодня возникают и будут продолжать возникать задачи, сходные между собой по постановке, обладающие рядом общих признаков и решаемые методами исследования операций. Сегодня даже трудно назвать такую область человеческой деятельности, где бы не возникали и не требовали решения задачи исследования операций.

В настоящем конспекте, в краткой и по возможности доступной форме, излагаются задачи и методологические принципы исследования операций, формулируются основные понятия этой науки и дается представление о некоторых математических методах решения ее задач.

7.1. Предмет и задачи исследования операций

В наше время, которое по справедливости называют веком научно-технической революции, наука уделяет все возрастающее внимание вопросам организации и управления. Быстрое развитие и усложнение техники, небывалое расширение масштабов проводимых мероприятий, внедрение автоматизированных систем управления во все области практики – все это приводит к необходимости научного анализа сложных целенаправленных процессов под углом зрения их структуры и организации. От науки требуются рекомендации по оптимальному (правильному) управлению такими процессами.

Потребности практики вызвали к жизни специальные научные методы, которые принято объединять под общим названием «Исследование операций». Под исследованием операций понимается применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Что же такое «решение»? Это какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора.

Необходимость принятия решений так же стара, как само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные люди, отправляясь, скажем, охотиться на мамонта, должны были принимать те или другие решения. В каком месте устроить засаду? Как расставить охотников? Чем их вооружить? И т. д. Однако до поры до времени решения принимались без специальных обоснований, просто на основе опыта и здравого смысла. В некоторых случаях такой способ принятия решений нас устраивает и до сих пор. Допустим, человек выходит утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: как одеться? Брать ли с собой зонтик? В каком месте перейти улицу? Каким видом транспорта воспользоваться? Все эти решения человек принимает без всяких расчетов, опираясь на имеющийся у него опыт и здравый смысл. Для их обоснования никакая наука не нужна да и вряд ли потребуется в дальнейшем. Оптимизация таких решений происходит как бы сама собой, в процессе жизненной практики. Если порой принятое решение окажется не самым удачным, так что же? На ошибках учатся.

Но бывают решения несравненно более ответственные. Пусть, например, организуется работа общественного транспорта во вновь отстроенном городе. Необходимо принять ряд решений: по каким маршрутам какие транспортные средства и в каком количестве надо направить? В каких пунктах сделать остановки? Как изменять частоту следования машин в зависимости от времени суток? и т. д.

Эти решения являются несравненно более сложными, а главное, от них очень многое зависит. В первом примере неправильный выбор решения затронет интересы одного человека, во втором он может отразиться на деловой жизни целого города. Конечно, и в этом случае при выборе решения можно действовать интуитивно, опираясь на опыт и здравый смысл, но гораздо более разумными окажутся решения, если они будут подкреплены количественными, математическими расчетами. Эти предварительные расчеты помогут избежать длительного и накладного поиска решения «на ощупь».

«Семь раз примерь, один – отрежь»– говорит пословица. Исследование операций как раз и представляет собой своеобразное математическое «примеривание» к будущему, позволяющее экономить силы, время и материальные средства.

Чем более сложным и дорогостоящим является организуемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения и тем большее значение приобретают научные методы, позволяющие заранее оценить последствия каждого решения, заранее отбросить недопустимые варианты и рекомендовать наиболее удачные, позволяющие установить, достаточна ли имеющаяся у нас информация для правильного выбора решения, и если нет – какую информацию нужно дополнительно получать и обрабатывать. Нередки, правда, случаи, когда опираться на опыт и здравый смысл при выборе решения просто невозможно, когда речь идет о мероприятии, осуществляемом в первый раз. «Опыт» в этом случае молчит, а «здравый смысл» легко может обмануть, если не будет опираться на расчет. Такими математическими расчетами, облегчающими людям принятие разумных решений, и занимается исследование операций.

Это сравнительно молодая наука. Впервые это название появилось в годы второй мировой войны, когда в вооруженных силах некоторых стран (в частности, США и Англии) были сформированы специальные группы, в задачу которых входила подготовка решений для командующих боевыми действиями; эти решения касались главным образом боевого применения оружия и распределения сил и средств по различным объектам. Подобного рода задачами, правда, под иными названиями, занимались и ранее, в частности, в нашей стране. В дальнейшем исследование операций расширило область применения на самые разные области практики: промышленность, сельское хозяйство, торговлю, бытовое обслуживание, транспорт, здравоохранение, охрану природы и т. д.

Чтобы познакомиться со спецификой исследования операций, рассмотрим ряд типичных для нее задач. При этом намеренно возьмем их из разных областей практики. Типы процессов и классы связанных с ними задач можно кратко охарактеризовать следующим образом.

Процессы создания и хранения запасов. Процессами, связанными с проблемой запасов, принято называть такие процессы, которые требуют либо обоих, либо одного из двух следующих решений: (а) сколько заказывать (производить или покупать) и (б) когда заказывать. Эти решения требуют регулирования запасов, что связано с затратами по одной или нескольким из следующих статей: заказ или переоборудование; дефицит или задержка; изменение уровня производства или закупок. В качестве средств, применяемых к решению этих задач, используются уравнения экономичного размера партии, а также аппарат линейного, динамического и квадратичного программирования.

Процессы распределения. Эти процессы возникают, когда (а) существует ряд операций, которые необходимо выполнить, и ряд различных путей их выполнения, (б) нет в наличии ресурсов или средств, обеспечивающих выполнение каждой из этих операций наиболее эффективным образом. Задача в таком случае заключается в соединении операций и ресурсов таким образом, чтобы добиться максимального общего эффекта. Как ресурсы, так и операции могут быть конкретно заданы. Если задано что-либо одно из двух, то задача заключается в том, чтобы определить, при каком втором в комбинации с заданным первым можно в конечном итоге добиться наибольшего эффекта.

Средствами, которые в практике работы наиболее часто использовались при решении задач распределения, являются линейное и другие виды математического программирования.

Процессы обслуживания. Эти процессы связаны с наличием клиента, требующего обслуживания. За исключением очень редких случаев, либо клиенту, либо обслуживающему, либо как тому, так и другому приходится ждать. Все виды ожидания связаны с расходами. Задача заключается в том, чтобы регулировать появление клиентов или определять объем и организацию обслуживания с тем, чтобы свести к минимуму оба эти вида ожидания и связанные с ними расходы.

К задачам по определению объема обслуживания и времени появления клиентов (составление расписания) применима теория очередей. К задачам по определению порядка обслуживания клиентов применима теория расписаний. И наконец, к задачам определения распределения и группировки каналов и других элементов процессов обслуживания в систему обслуживания применима теория балансирования линий.

Процессы замены. Процессы замены распадаются на два основных класса в зависимости от вида износа оборудования: либо оно устаревает и становится несовременным (менее эффективным) в результате длительного срока службы или появления нового оборудования (например, станки), либо не устаревает, но полностью выходит из строя, «гибнет» (например, электролампы).

Для устаревающих видов оборудования задача заключается в установлении времени замены с тем, чтобы сократить расходы на новое оборудование, на ремонт и эксплуатацию старого или расходы, связанные со снижением производительности оборудования. Для видов оборудования, которые полностью выходят из строя, задача заключается в том, чтобы определить, какие элементы следует заменить (например, все, кроме тех, которые были установлены на прошлой неделе) и как часто их менять с тем, чтобы снизить расходы на оборудование, на замену частей и другие затраты, связанные с выходом их из строя.

Задачи эксплуатации и ремонта могут рассматриваться как частный случай задач замены, поскольку здесь требуется, как правило, замена отдельной части, а не всего комплекса оборудования. Отсюда как к задачам замены оборудования, так и к задачам ремонта применим один и тот же подход.

Состязательные процессы. Состязательные процессы – это процессы, в которых эффективность решения одной стороны может оказаться сниженной в связи с решением другой стороны. Наиболее часто встречающаяся в проектах операционного исследования ситуация носит название игра. Игра характеризуется количеством участников, правилами игры, сформулированными с учетом всех возможных допустимых действий, некоторым множеством конечных состояний (выигрыш, проигрыш, ничья и т. п.) и наградами или потерями, вызываемыми этими результатами. Основные методы, связанные с решением этого класса задач, известны как теория игр.

Другим видом состязательного процесса являете я такая ситуация, при которой имеет место аукционный торг. Она отличается от игры следующими признаками: (а) количество участников обычно неизвестно, (б) количество партий, как правило, не ограничено, (в) награды и проигрыш заранее неизвестны и могут лишь быть примерно оценены, (г) результат состязания (выигрыш или проигрыш) также неизвестен и может быть только оценен. Разработка теории торгов еще только началась, но уже имеются некоторые полезные средства для решения этого рода задач.

Комбинированные процессы. Реальные системы очень редко характеризуются только одним из вышерассмотренных процессов. Так, например, задачи по управлению производством обычно включают сочетание процессов создания запасов, распределения и обслуживания. Или же, если взять задачу замены отдельных элементов, которые выходят из строя, то она, как правило, связана с проблемой запасов, а задача торгов может оказаться связанной с задачей распределения ресурсов между несколькими возможными контрактами, на которые могут быть сделаны ставки.

Обычная процедура исследования, комбинированных процессов состоит в последовательном решении задач. Мы знаем, что во многих случаях не удается достичь оптимальной решения даже при последовательной, повторяющейся корректировке. Отсюда ясно, что перед исследователем операций со все возрастающей необходимостью встает проблема отыскать сочетание абстрактных процессов и построить модели, основанные на взаимодействии нескольких рассматриваемых здесь процессов. Удовлетворение этой потребности все больше и больше привлекает внимание научной мысли. Следует отметить также, что шесть видов рассмотренных здесь процессов не исчерпывают всех ситуаций, с которыми приходится сталкиваться при решении операционных задач. Но они охватывают большинство ситуаций, с которыми до сих пор приходилось иметь дело в практике исследования операций. Однако можно ожидать, что в будущем обнаружится и будет подвергнуто математическому анализу гораздо большее число часто встречающихся ситуаций.

Названия абстрактных моделей не должны сковывать, воображения студента. Модели запасов применимы к задачам наличных денег, оборотного капитала и рабочей силы. Модели очередей могут быть применены к решению некоторых задач управления запасами. Воображение является столь же эффективным средством успешного научного анализа, как и любая другая способность разума.

Число примеров легко было бы умножить, но и приведенных достаточно, чтобы представить себе отличительные особенности задач исследования операций. Несмотря на то, что рассмотренные примеры относятся к самым разным областям практики, в них легко просматриваются общие черты. В каждом из них идет речь о каком-то мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку выполнения мероприятия (в частности, средства, которыми мы можем распоряжаться). В рамках этих условий требуется принять такое решение, чтобы задуманное мероприятие было в каком-то смысле наиболее выгодным (или наименее убыточным).

В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности составляющие методологическую основу и аппарат исследования операций.

Познакомимся же с терминологией и основными принципами этой науки.

Операцией называется всякое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Операция является управляемым мероприятием, т. е. от нас зависит выбрать тем или другим способом какие-то параметры, характеризующие ее организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова (включая набор технических средств, применяемых в операции).

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, по тем или иным признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда (сравнительно редко) в результате исследования удается указать одно-единственное, строго оптимальное решение. Гораздо чаще – выделить область практически равноценных оптимальных (разумных) решений, в пределах которой может быть произведен окончательный выбор.

Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица, чаще – группы лиц, которым предоставлено право окончательного выбора. При этом выборе они могут учитывать наряду с рекомендациями, вытекающими из математического расчета, еще ряд соображений (количественного и качественного характера), которые этим расчетом не были учтены.

Непременное присутствие человека (как окончательной инстанции принятия решения) не отменяется даже при наличии полностью автоматизированной системы управления, которая, казалось бы, принимает оптимальное решение в зависимости от обстановки без участия человека. Нельзя забывать о том, что само создание управляющего алгоритма, выбор одного из возможных его вариантов есть тоже решение, и весьма ответственное. По мере развития автоматизированного управления функции человека не отменяются, а просто перемещаются с одного, элементарного уровня на другой, высший.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. Например, если планируется система перевозок грузов, элементами решения будут числа, показывающие, какое количество грузов будет послано из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения.

В простейших задачах исследования операций количество элементов решения может быть сравнительно небольшим. Но в большинстве задач, имеющих практическое значение, число элементов решения очень велико, что, разумеется, затрудняет анализ ситуации и выдачу рекомендаций. Как правило, любая задача исследования операций выливается в целое научное исследование, выполняемое коллективно, занимающее много времени и требующее применения вычислительной техники. Поэтому студент не должен надеяться на то, что, ознакомившись с этим конспектом, он сразу же, засучив рукава, может приступить к решению конкретных задач.

Кроме элементов решения, которыми мы, в каких-то пределах, можем распоряжаться, в любой задаче исследования операций имеются еще и заданные, «дисциплинирующие» условия, которые фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут. В частности, к таким условиям относятся средства (материальные, технические, людские), которыми мы вправе распоряжаться, и различного вида ограничения, налагаемые на решение.

Более строго, целью исследования операций, дисциплины, возникшей в связи с развитием промышленных организаций, является обеспечение руководства научной основой для решения задач, связанных с вопросами взаимодействия различных подразделений организации в интересах общих целей всей организации. Решение, которое представляется наиболее выгодным для всей организации в целом, считается оптимальным решением, решение, которое наиболее выгодно для одной или более частей организации, назовем субоптимальным. Задача установления критериев оптимальности решения сама по себе чрезвычайно сложна и очень специфична.

При проведении операционных исследований стараются отыскать наилучшие решения для возможно большей части всей организации. Например, при попытке разрешить задачу ремонта на предприятии операционными методами стремятся учесть влияние различных вариантов политики проведения ремонтов на производство в целом. Можно пойти даже дальше и попытаться определить, как это влияние на данную фирму в свою очередь отражается на всей промышленности и т. д. По возможности также предпринимается попытка учесть, как воздействие на производственный отдел скажется на других отделах и на фирме в целом. В исследовании операций стремятся учитывать взаимодействия или причинно-следственные связи настолько, насколько это представляется существенным. Однако в любом конкретном случае объем операционных исследований практически обычно ограничен, либо в связи с тем, что доступ на более высокие уровни организации закрыт, либо в связи с ограничениями во времени, деньгах и ресурсах. Это необходимо иметь в виду при изучении исследования операций. Всегда существует: расхождение между идеальными устремлениями и реальными возможностями. Тем не менее, основная цель исследования операций сводится к отысканию оптимальных решений задач организационного типа с учетом функционирования всей организации в целом.

Такой общий характер цели операционных исследований является примером системного подхода, поскольку под «системой» подразумевается взаимосвязанный комплекс функционально соотнесенных компонентов. Так, фирма является системой «человек – машина». Но не все системы включают человеческий или социальный компонент. Автомобиль, например, состоит из таких функциональных частей, как мотор, передача, радиатор, генератор. Все эти и другие части собраны в единый механизм, который может удовлетворять ряд потребностей. Эффективность функционирования каждой части зависит от отлаженности механизма в целом, а эффективность работы всего механизма зависит от того, как функционирует каждая его отдельная часть.

Проблемы оптимизации, конструкции механических систем сходны, с проблемами оптимизации систем «человек – машина», но не тождественны им. Оба типа систем связаны с противоречиями интересов. Покупатели автомобилей хотят иметь надежные, экономичные, удобные, просторные, изящные машины, обладающие высокой скоростью. Но нельзя в одинаковой степени удовлетворить все эти требования одновременно. Поэтому задача конструирования требует оптимизации с учетом некоторого множества по крайней мере, частично противоречивых целей. Проблема «разделения труда» в промышленных организациях отлична от вопросов функционирования компонентов в механических системах, так как в системах, куда входят люди, существует серьезная проблема создания заинтересованности для работы различных подразделений по выполнению соответствующих функций.

Применение научных методов к построению механических систем и систем «человек – машина» иногда называют анализом систем и ставят знак равенства между ними исследованием операций. В определенном смысле конструирование и оценка боевых систем и систем связи является операционным исследованием. Но традиционно ориентируются на системы, включающие человека, поскольку именно на это делается упор в практике применения исследования операций в сфере деловой и производственной деятельности.

И до сих пор проводятся операционные исследования, выполняемые группами ученых, отдельные члены которых представляют различные теоретические и прикладные дисциплины. Нередко, например, можно встретить группу из математиков, физиков, психологов и экономистов, которые работают вместе над задачами оптимизации политики капиталовложений. Продуктивность таких групп, состоящих из представителей различных специальностей, при решении класса организационных задач, составляющих предмет исследования операций, не случайна.

Когда ученый сталкивается с задачей нового типа, он, как и любой другой на его месте, старается прежде всего определить сущность задачи и установить, приходилось ли ему ранее иметь дело с задачами подобного вида в иных конкретных условиях, в частности в своей специальной области. Если он устанавливает аналогию с задачами, с которыми встречался в своей области, он может посмотреть, насколько применимы методы решения, которыми он воспользовался бы при решении своих специальных задач, к той новой задаче, с которой он столкнулся. Таким образом, он вводит в круг возможных подходов к задаче те методы и принципы, которые вне связи с его специальностью и опытом могли бы даже и не прийти никому на ум. И когда одну задачу решают специалисты из различных областей, то круг возможных подходов к ее решению, естественно, расширяется.

Так, например, специалист в области электроники, изучая проблему производства и регулирования запасов, может быстро понять, что колебания объема запасов являются функцией времени, которое проходит между колебаниями на рынке и приспособлением к ним уровня производства. Фактически он рассматривает задачу как задачу по конструированию управляемой системы, в которой необходимая информация относительно изменения рыночной конъюнктуры поступает быстро и безошибочно в пункт управления производством, откуда могут быть посланы команды на изменения в производственном процессе, снижающие некоторые расходы. Он фактически перевел задачу на язык теории автоматического регулирования, и он знает, как решать такого рода задачи. Пример этот вовсе не гипотетический.

С другой стороны, инженер-химик может иначе посмотреть на ту же задачу и попытаться сформулировать ее в терминах теории непрерывных процессов, и, если ему это удастся, он сможет применить к решению этой задачи имеющиеся в его распоряжении готовые методы.

Какой из возможных подходов окажется наиболее продуктивным, зависит от обстоятельств. Исследовательская группа рассматривает предложенные варианты и выбирает один из них или выдвигает совершенно новый, в котором сочетаются черты предложенных ранее подходов.

Одна из основных идей создания комплексных операционных групп заключается в том, чтобы применить к решению данной задачи наиболее передовую научную методику или разработать новую, которая была бы более эффективна в отношении решения подобных задач, чем любая из уже имеющихся. По существу, эта идея сводится к тому, что ни в одной голове, взятой в отдельности, не может разместиться столько потенциально полезной научной информации, сколько в нескольких, взятых вместе.

Еще одним существенным достоинством такого подхода является то, что большинство систем «человек – машина» требует подхода с различных точек зрения, например с точки зрения физической, биологической, психологической, социологической, экономической и инженерной. Эти различные аспекты системы могут быть лучше поняты и проанализированы теми, кто специализируется в той или иной области. Те, кто непосредственно управляет данной системой, могут не иметь достаточного представления о какой-то одной или нескольких ее сторонах, а, следовательно, не располагать полной картиной ее функционирования. Другими словами, для того чтобы представлять систему как единое целое, недостаточно знать ее части и их взаимодействие; необходимо также видеть различные аспекты функционирования системы. В комплексной группе количество аспектов, которые могут быть подробно рассмотрены, возрастает.