5.3. О фракталах и их применении

Фракталы окружают нас повсюду. Изрезанные береговые линии, изломанные поверхности горных хребтов, причудливые очертания облаков, раскидистые ветви деревьев, разветвленные сети кровеносных сосудов и нейронов, вспененные потоки бурных рек – все это фракталы. Одни фракталы, типа облаков и горных потоков, постоянно изменяются, другие, подобные деревьям и нейронным сетям, сохраняют свою форму неизменной.

Язык фрактальной геометрии природы оставался непонятым вплоть до появления в 1983 г. книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». До этого времени естествоиспытатели говорили на языке геометрии Евклида. Идеально регулярные образы – прямая и плоскость, треугольники и пирамиды, окружность и сфера – составляли основу этого языка и всей научной картины мира. Эту мысль в 1623 г. сформулировал Галилео Галилей: «Философия природы написана в величайшей книге – я разумею Вселенную, - которая всегда открыта перед нашими глазами, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена ее - треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески их слова; без них тщетное кружение в темном лабиринте».

Потребовалось еще 350 лет, прежде чем естествознание обрело качественно новый язык фрактальной геометрии. Вот что об этом пишет первооткрыватель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт: «Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.... Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, – задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать».

Широчайшее распространение фрактальных структур объясняется их разномасштабностью и самоподобием: и большие, и малые масштабы фрактальных структур имеют одинаковый закон построения. Форма фрактальной структуры, разглядываемая в микроскоп с любым увеличением, видится одной и той же. Это геометрическое подобие и есть основной принцип роста всего живого, который называют также иерархическим принципом организации (законы ветвления самой тонкой веточки дерева абсолютно те же, что и для всех его ветвей, и для всего ствола в целом).

Задать фрактальную структуру – значит задать не застывшую, неизменную форму, а принцип роста, закон изменения формы. Как правило, алгоритм построения формы гораздо проще, чем Полученная с его помощью форма. Фрактал дает компактный способ описания самых замысловатых форм. Итак, «фрактал не есть конечная форма (фрактал никто никогда не видел, так же как число), а есть закон построения этой формы. Фрактал аккумулирует в себе идею роста».

Осознание этой идеи привело к тому, что понятие фрактала стало широко использоваться в научных исследованиях, и было обнаружено большое число задач, в которых фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. Например, в турбулентности теория фракталов теснейшим образом связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова. Скорость турбулентного потока (как функция пространственных переменных и времени) – фрактал, аналогичный броуновской кривой, только с иными локальными свойствами.

Е. Федер в основу своей книги положил исследование явлений, имеющих место при вытеснении нефти водой в пористой среде; эти явления приводят к тому, что нефть оказывается запертой в водяных ловушках, что ведет к ее потерям. Если вязкость вытесняемой жидкости больше вязкости вытесняющей, то фронт вытеснения неустойчив и образуются так называемые «вязкие пальцы», имеющие фрактальную структуру.

Рис. 5.1. Функция Вейерштрасса

На рис. 5.1 представлена фрактальная кривая, являющаяся графиком так называемой функции Вейерштрасса. Эта функция непрерывна, всюду не дифференцируемая (каждая точка этой прямой – точка излома, производная в которой не существует). Она задается бесконечной суммой тригонометрических функций, обладает сложной изломанной структурой и является самоподобной: форма функции остается неизменной при растяжении вдоль оси абсцисс и вдоль оси ординат. Впервые подобные функции появились в XIX веке, однако они были отвергнуты математиками как «некрасивые». Их не только не хотели изучать – о них не хотели даже говорить. В самом деле, если любая сколь угодно малая часть функции Вейерштрасса повторяет всю функцию в целом, то чему же равна длина ее графика? Очевидно, бесконечности. Вопрос о длине фрактальной линии остался в XIX веке без ответа.

Еще раз столкнулись с подобной проблемой во второй половине XX века при измерении длины береговой линии Англии. Эта задача была поручена известному английскому физику Л. Ричардсону. Для ее решения Ричардсон на карте заменил истинную береговую линию замкнутой ломанной, составленной из отрезков прямой длины, вершины которой располагались на побережье. Длина ломанной принималась за приближенное значение длины береговой линии, соответствующее выбранной длине элемента ломаной. Далее, переходя к пределу, ожидали получить истинное значение длины побережья. Из математики известно, что предел длины ломанной для непрерывно дифференцируемой функции не зависит ни от длины элемента ломанной, ни от способа построения ломанной и равен длине графика функции.

Однако береговая линия Англии, в отличие от линий, описываемых гладкими функциями, оказалась настолько изрезанной вплоть до самых малых масштабов карты, что с уменьшением звеньев длина ломанной не стремится к конечному пределу, а становится бесконечно большой. Ричардсону удалось установить характер стремления к бесконечности, который выражался степенной функцией.

Примером более упорядоченной фрактальной кривой может служить фрактал, открытый в 1904 г. немецким математиком Хельгой фон Кох. Алгоритм построения его очень прост: рассматривается равносторонний треугольник со сторонами единичной длины; каждый прямолинейный элемент делится на три части, на средней части строится меньший равносторонний треугольник и его основание отбрасывается. Предфракталы - фигуры, полученные за четыре первых шага, изображены на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Построение снежинки Кох

Можно вычислить периметр этой фигуры. Длина кривой стремится к бесконечности. Множество точек, полученное как предел бесконечного числа итераций процедуры Кох, не являются кривой, для которой длина - удобная мера. Это уже не линия - «длина без ширины», а нечто большее, некая «толстая линия».

Термин фрактал (от лат. – изломанный, дробный) ввел в употребление в 1975 г. американский математик Б. Мандельброт, сотрудник исследовательского центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IВМ. Фракталами Мандельброт назвал структуры, обладающие двумя признаками: изломанностью и самоподобием (любая часть структуры подобна всему целому). Самоподобный понимается не только в классическом смысле как «линейно увеличенный или уменьшенный», но и в смысле «похожий». Кроме того, эти структуры характеризуются параметром, называемым фрактальной размерностью.