Момент сили

Для характеристики зовнішнього механічного впливу на тіло, що приводить до зміни його обертального руху, вводиться поняття моменту сили.

Моментом сили щодо нерухомої точки , називається векторний добуток радіус-вектора , проведеного з точки в точку прикладання сили на вектор сили :

Вектор спрямований перпендикулярно площині векторів і . Його напрямок збігається з напрямком поступального руху правого гвинта при його обертанні від вектора до вектора . Модуль моменту сили:

,

де - кут між векторами і (приводимо вектори до загального початку).

- плече сили. Плечем сили називається довжина перпендикуляра, опущеного з точки на лінію дії сили (рис.7).

Моментом сили щодо нерухомої осі називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю ось вектора моменту сили, визначеного щодо довільної точки на даній осі .

Рис.7. Значення моменту , не залежить від вибору положення точки на осі .

Момент імпульсу

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки

називається векторний добуток радіус-вектора матеріальної точки , проведеного з точки (рис.8), на вектор імпульсу матеріальної точки ( - швидкість матеріальної точки):

М одуль вектора моменту імпульсу:

- кут між векторами і . Напрямок вектора визначається правилом правого гвинта.

Рис.8.

При обертанні твердого тіла навколо нерухомої осі кожна точка тіла масою рухається по колу радіуса зі швидкістю . Швидкість і імпульс перпендикулярні цьому радіусові , тобто . Радіус є плечем вектора , тому модуль моменту імпульсу матеріальної точки дорівнює:

Моментом імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі є сума моментів імпульсу матеріальних точок тіла:

Величина називається моментом інерції твердого тіла щодо _{нерухомої осі (нижче це поняття буде розглянуто більш детальніше).}

Момент імпульсу ізотропного твердого тіла щодо нерухомої осі обертання дорівнює добутку моменту інерції щодо тієї ж осі на кутову швидкість:

Основний закон динаміки обертального руху: швидкість зміни моменту імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі обертання дорівнює сумарному моменту зовнішніх сил відносно цієї осі:

У випадку абсолютно твердого тіла момент інерції не залежить від часу, тоді основний закон динаміки обертального руху має вигляд:

Для замкнутої системи момент зовнішніх сил і , звідки впливає, що:

Це є закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи зберігається, тобто не змінюється за часом.

К інетична енергія обертального руху

Розглянемо абсолютно тверде тіло (Рис.9), що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю _. Розіб'ємо його на частини з малими масами

При обертанні твердого тіла усі частини з масами описують кола різних радіусів і мають різні лінійні швидкості . Проте, кутова швидкість обертання для всіх частин однакова:

,

Кінетична енергія обертального руху твердого тіла дорівнює сумі кінетичних енергій його окремих частин:

Величина називається моментом інерції тіла щодо осі . Тоді кінетична енергія обертального руху твердого тіла навколо даної осі дорівнює:

При русі тіла, наприклад, циліндра, що котиться без ковзання по похилій площині, кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій поступального і

обертального рухів: