Потенциальные поля. Консервативные силы. Работа сил потенциального поля. Поле центральных сил
Консервативными силами называются силы, работа которых не зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Характерное свойство таких сил – работа на замкнутой траектории равна нулю:
К консервативным силам относятся: сила тяжести, гравитационная сила, сила упругости и другие силы.
Неконсервативными(диссипативными) силами называются силы, работа которых зависит от пути перехода тела или системы из начального положения в конечное. Работа этих сил на замкнутой траектории отлична от нуля. К неконсервативным силам относятся: сила трения, сила тяги и другие силы.
Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными
Векторное
поле A назывется потенциальным,
если его можно представить в виде
градиента некоторого скалярного поля 
:
Само
скалярное поле
называется
при этом потенциалом векторного
поля A.
Иначе
говоря, векторное поле A является
потенциальным, если координаты вектора
A можно представить в виде частных
производных некоторого скаляного
поля
:
Условия
потенциальности поля.
Пусть
–
дифференцируемое потенциальное поле, 
–
бесконечно малый вектор смещения их
произвольной точки 
.
Рассмотрим
скалярное произведение векторов A
и dr:
Выражение
в правой части этого равенства представляет
собой полный дифференциал функции
.
Если частные производные 
являются непрерывными функциями, то
смешанные производные от
не
зависят от порядка дифференцирования:
Учитывая, что частные производные от функции являются координатами вектора A, получаем следующие условия потенциальности поля A:
Особый интерес представляют случаи центральных сил – их линии действия проходят через начало и, следовательно, суммарный момент относительно начала равен нулю, а следовательно, L=const.
Примерами центральных сил являются силы тяготения и Кулона, направленные вдоль линии, соединяющей точечные массы или точечные заряды.
Проще всего центральные силы вводятся для физических систем, состоящих из конечного числа объектов, размерами которых можно пренебречь (материальных точек), или, иногда, некоторых эквивалентных им, состоящих из протяжённых объектов с фиксированной внутренней структурой. Распределенные системы, в которых действуют центральные силы, в общем случаене могут быть представлены конечным количеством материальных точек. В случае распределённых систем общим подходом является разбиение их на очень большое (в пределе бесконечное) количество элементов малого (в пределе стремящегося к нулю) размера каждый (которые и рассматриваются как материальные точки), между которыми действуют центральные силы в соответствии с определением, данным выше. Таким образом, в этом случае центральной, собственно, является каждая элементарная сила, а реальная сила является суммой (суперпозицией)) таких элементарных сил.
Классическая физика вводит также понятие поля центральной силы для области трёхмерного пространства, в котором действуют центральные силы.
Для любой центральной силы F выполняется соотношение:
