Градиент функции. Эквипотенциальные поверхности и силовые поля сил
Градиент— вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины φ значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве φ высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на:
1. Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента
2. Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных
3. Строки Матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным).
Направление силовой
линии (линии
напряженности) в каждой точке совпадает
с направлением 
. Отсюда
следует, что напряженность
равна
разности потенциалов U на единицу длины
силовой линии.
Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто:
|
|
.Теперь дадим определение эквипотенциальной поверхности. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности
|
|
При
перемещении по этой поверхности на
dl потенциал
не изменится: 
Отсюда
следует, что проекция вектора
на
dlравнанулю, то
есть 
Следовательно,
в
каждой точке направлена
по нормали к
эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальных поверхностей можно провести сколько угодно много. По густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине , это будет при условии, что разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями равна постоянной величине.
Формула 
выражает
связь потенциала с напряженностью и
позволяет по известным значениям φ
найти напряженность поля в каждой точке.
Можно решить и обратную задачу, т.е. по
известным значениям
в
каждой точке поля найти разность
потенциаловмежду двумя произвольными
точками поля. Для этого воспользуемся
тем, что работа, совершаемая силами поля
над зарядом q при
перемещении его из точки 1 в точку 2,
может быть, вычислена как:
С другой стороны работу можно представить в виде:
,
тогда 
Интеграл
можно брать по любой линии, соединяющие
точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не
зависит от пути. Для обхода по замкнутому
контуру 
получим:
т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора апряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.
Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми:они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность. Это соотношение верно только для электростатического поля.