Момент инерции. Пример вычисления
1. Момент инерции материальной точки относительно оси, перпендикулярной плоскости вращения.
Рассмотрим материальную точку, движущуюся по окружности с угловой скоростью ω в плоскости, перпендикулярной оси (z) и проходящей через центр окружности.
Найдем момент импульса материальной точки относительно точки О (он равен моменту импульса относительно оси z):
R - радиус-вектор, характеризующий положение материальной точки относительно оси.
Проекция момента импульса на ось z равна модулю вектора L относительно точки О:
Величина
постоянна и называется моментом инерции
материальной точки.
Момент инерции материальной точки относительно оси – это величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения.
сонаправлены,
выражение для момента импульса можно
записать следующим образом:
2. Момент инерции абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси.
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с некоторой угловой скоростью. Представим тело как совокупность N материальных точек.
Пусть Δmi - масса i-ой материальной точки.
Ri - характеризует положение материальной точки относительно оси.
Момент количества движения (импульса) относительно оси для абсолютно твердого тела, как системы материальных точек:
Он зависит от:
1) массы материальных точек;
2) распределения масс в теле относительно оси ( Ri );
3) выбора оси.
Формулу для момента инерции абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси можно представить в интегральном виде.
Для этого от Δmi перейдем к бесконечно малой массе dm , от Ri к r и от суммы Σ к
интегралу:
Для однородного по объему тела плотность материала ( ρ ) постоянна.
Таким образом, расчет момента инерции однородного тела сводится к интегралу по объему:
Если момент импульса постоянен относительно оси, то при уменьшении момента инерции,
угловая
скорость будет возрастать
Это применяют фигуристы, балерины в своих выступлениях, вытягивая руки в стороны и прижимая их к себе, чтобы изменить скорость вращения.
Пример вычисления:
Для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси симметрии, проходящей через его центр масс, используем формулу для момента инерции в интегральном виде.
Для удобства интегрирования элементарный объем dV выбираем в виде тонкого
цилиндрического
кольца радиусом r, толщиной dr и высотой
Основное уравнение динамики вращательного движения. Аналогия понятий и уравнений поступательного и вращательного движений
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Момент импульса тела относительно оси:
Действие внешних сил на тело приведет к изменению угловой скорости вращения и
изменению момента импульса. Возьмем производную по времени от обеих частей уравнения:
Учитывая, что
получим:
- основное уравнение динамики вращательного движения.
Во втором законе Ньютона масса материальной точки является мерой инертности в динамике ее движения. В динамике вращательного движения такой мерой инертности является момент инерции тела.