31. Длина отрезка в различных исо

При выводе формулы (1) мы неявно предполагали, что расстояние l между зеркалами одинаково как в вагоне, так и на земле. Но так ли это на самом деле? Да, это действительно так: вертикальные размеры предметов являются одними и те же как в вагонной, так и в земной системе отсчёта. Чтобы убедиться в этом, давайте возьмём два одинаковых вертикальных стержня; один из них поместим в вагон, а другой оставим на земле. Оба стержня пусть будут на одной и той же высоте над землёй. Когда стержни поравняются друг с другом, концы одного стержня сделают засечки на другом стержне. Так вот, из принципа относительности следует, что эти засечки должны прийтись в точности на концы другого стержня. В самом деле, пусть по засечкам оказывается, например, что вагонный стержень короче земного, т. е. движущийся стержень короче покоящегося. Но по принципу относительности инерциальные системы отсчёта полностью равноправны. Давайте перейдём в систему отсчёта вагона: там вагонный стержень будет покоиться, а земной — двигаться. Тогда получится, что движущийся стержень длиннее покоящегося. Противоречие! Итак, поперечные размеры предметов одинаковы как в покоящейся, так и в движущейся системе отсчёта. Иначе обстоит дело с продольными размерами.

Вновь вернёмся к нашему вагону и рассмотрим стержень AB, расположенный вдоль вектора скорости вагона (рис.).

Стержень, таким образом, двигается со скоростью v параллельно оси X. Пусть l0 — длина неподвижного стержня, измеренная в вагоне. Она называется собственной длиной стержня. Через l обозначим длину движущегося стержня, измеренную на земле. Для нахождения соотношения между l и l0 рассмотрим два события: 1) прохождение точки A мимо фиксированной точки O на оси X; 2) прохождение точки B мимо точки O.

В земной системе отсчёта наши события происходят в одной точке O. Промежуток времени между этими событиями по земным часам пусть равен τ0 (это собственное время, разделяющее данные события). Очевидно, что

(2)

В системе отсчёта вагона указанные события происходят в двух различных точках A и B. Промежуток времени между этими событиями по вагонным часам равен τ . Аналогично имеем (3)

Приравнивая правые части формул (2) и (3), получим:

Но в силу формулы (1) имеем:

Отсюда получаем окончательную формулу:

(4)

Как видим, собственная длина l0 умножается на величину, меньшую единицы; стало быть, длина движущегося стержня будет меньше длины покоящегося стержня. Это так называемое лоренцево сокращение — все тела сокращают размеры в направлении своего движения. Подчеркнём ещё раз: длина стержня в системе отсчёта, относительно которой стержень движется, меньше длины этого же стержня в системе отсчёта, относительно которой он покоится. Данный эффект связан лишь с особенностями измерительных процедур, свойственных теории относительности. Никаких реальных «сжатий» в движущемся стержне, разумеется, не происходит.

32. Преобразования Лоренца

Теперь мы можем вывести формулы, связывающие координаты и время фиксированного события в двух различных инерциальных системах отсчёта. Пусть снова имеются две системы отсчёта: система K и движущаяся относительно неё система K0 (рис.).

При t = 0 начала O и O0 этих систем совпадают.

Рассмотрим некоторое событие S (например, вспышку света). В системе K это событие происходит в точке с координатами (x, y, z) в момент времени t. В системе K0 это же событие происходит в точке с координатами (x 0 , y0 , z0 ) в момент времени t 0 .

Как мы уже выяснили, поперечные размеры тел в обеих системах отсчёта одни и те же. Поэтому имеем: y0 = y, z0 = z. Пусть A — проекция точки S на общую ось абсцисс. Найдём длину отрезка OA в системах K и K0 . В системе K отрезок OA покоится. Его длина равна x — это собственная длина данного отрезка. В системе K0 отрезок OA движется со скоростью v, и его длина в силу формулы

равна .

Но с другой стороны, в системе K0 длина OA равна x0 +vt0 .

Следовательно,

(10)

Теперь аналогично найдём длину отрезка O0A в системах K и K0 . В системе K0 отрезок O0A покоится, его собственная длина равна x0 . В системе K отрезок O0A движется со скоростью v, и его длина равна . С другой стороны, длина O0A в системе K равна x − vt. Поэтому

(11)

Из формулы (11) выразим x 0 . Полученное выражение подставим в (10) и выразим оттуда t 0 .

В результате получим:

Формулы (12) называются преобразованиями Лоренца. Они дают искомую связь координат и времени события S в инерциальных системах отсчёта K и K0 . Эти релятивистские формулы, вытекающие из принципов СТО, служат заменой классическим преобразованиям Галилея, опирающимся на представления о мгновенности распространения взаимодействий. При малых скоростях движения, т. е. при v<<c, мы можем считать отношение v/c равным нулю. Тогда преобразования Лоренца переходят в соотношения:

(13)

Эти формулы есть не что иное, как преобразования Галилея. Мы видим, что преобразования Галилея служат предельным случаем преобразований Лоренца, когда скорости тел малы по сравнению со скоростью света. Поэтому при малых скоростях движения релятивистская механика Эйнштейна переходит в классическую механику Ньютона. С системой равеств (10) и (11) можно поступить иначе.

Выразим x из (10), подставим в (11) и выразим оттуда t. В результате придём к другому варианту записи преобразований Лоренца: (14)

Формулы (12) задают переход из системы K в систему K0 . Формулы (14) задают обратный переход из системы K0 в систему K. В предельном случае v << c преобразования Лоренца (14) также переходят в преобразования Галилея: (15)

Эти формулы, как легко видеть, полностью совпадают с формулами (13).