22. Потенциальная энергия и сила поля. Пример потенциального поля силы

Пространство, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным полем.         Каждой точке потенциального поля соответствует некоторое значение силы   , действующей на тело, и некоторое значение потенциальной энергии  U. Значит, между силой     и  U  должна быть связь   , с другой стороны,  dA = –dU, следовательно   , отсюда

.

       Проекции вектора силы на оси координат:

       Вектор силы можно записать через проекции:

,  F = –grad U,

Где

  .         Градиент – это вектор, показывающий направление наибыстрейшего изменения функции. Следовательно, вектор     направлен в сторону наибыстрейшего уменьшения U.

Пример потенциального поля.

Поток тепла в теле с температурным распределением  T(x, y, z)  описывается уравнением распространения тепла

где  K > 0  – коэффициент теплопроводности, являющийся характеристикой вещества.  Таким образом,

и, следовательно, векторное поле  h  является потенциальным.  Наличие  знака минус отражает физику протекающего процесса, поскольку градиент температуры направлен в сторону наиболее быстрого возрастания температуры, тогда как тепловой поток распространяется в противоположном направлении, из нагретой области – в охлажденную.

23. Полная механическая энергия частицы. Закон сохранения энергии. Пример.

Суммарно потенциальная и кинетическая энергия системы тел составляют полную механическую энергию для этой системы тел:

W = E_k + E_p.

В изолированной системе тел полная механическая энергия остается постоянной, в системе могут лишь происходить превращения энергии из одного вида в другой. Данный вывод носит название закона сохранения механической энергии.

Например, для тела, движущегося под действием силы тяжести (падение; тело, брошенное под углом к горизонту, вертикально вверх или движущееся по наклонной плоскости без трения):

.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Из свойства симметрии однородности времени следует, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала системы отсчета.

Если в два произвольных момента времени все тела замкнутой системы поставлены в одинаковые условия, то, начиная с этих моментов времени, все явления в системе протекают одинаково.

На основании классической механики Ньютона имеем    А  = Wk2 - Wk1.

Силы, действующие на м.т., связаны с потенциальной энергией выражением

,

где потенциальная энергия задана в виде функции состояния, т.е.

W_p = W_p(x, y, z, t).

Например, поле, где находится м.т., изменяется со временем (пульсирует).

Тогда работа всех сил

.

Следовательно,

      или        .

C другой стороны, полная работа A = W_k = W_k2  W_k1.

Следовательно,

.

В случае замкнутой системы, в силу однородности времени, производная потенциальной энергии по времени равна нулю, т.е.  .

Таким образом, получаем закон сохранения механической энергии

W = W_k + W_p = const.

Пример. При прыжке ныряльщика в воду потенциальная сила притяжения совершает работу, которая равна изменению потенциальной энергии ныряльщика. Эта работа идет на изменение кинетической энергии прыгуна.